1.()給出四個命題:(1)若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形;(2)若sinA=cosB,則△ABC為直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,則△ABC為鈍角三角形;(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC為正三角形.以上正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.()在△ABC中,已知A、B、C成等差數(shù)列,則的值為__________.
3.()在△ABC中,A為最小角,C為最大角,已知cos(2A+C)=-,sinB=,則cos2(B+C)=__________.
4.()已知圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積.
5.()如右圖,在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈,桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比,角和這一點到光源的距離 r的平方成反比,即I=k.,其中 k是一個和燈光強度有關的常數(shù),那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h,才能使桌子邊緣處最亮?
6.()在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,.
(1)求角A的度數(shù);
(2)若a=,b+c=3,求b和c的值.
7.()在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,且a、b、3c成等比數(shù)列,又∠A-∠C=,試求∠A、∠B、∠C的值.
8.()在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點,使沿線段DE折疊三角形時,頂點A正好落在邊BC上,在這種情況下,若要使AD最小,求AD∶AB的值.
08高考數(shù)學三角形中的三角函數(shù)式 三角形中的三角函數(shù)關系是歷年高考的重點內容之一,本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理,掌握解斜三角形的方法和技巧. ●難點磁場 ()已知△ABC的三個內角A、B、C滿足A+C=2B.,求cos的值. ●案例探究 [例1]在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設有一個觀察站P,上午11時,測得一輪船在島北30°東,俯角為60°的B處,到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。 (1)求船的航行速度是每小時多少千米; (2)又經(jīng)過一段時間后,船到參考答案
參考答案
難點磁場
解法一:由題設條件知B=60°,A+C=120°.
設α=,則A-C=2α,可得A=60°+α,C=60°-α,
依題設條件有
整理得4cos2α+2cosα-3=0(M)
(2cosα-)(2cosα+3)=0,∵2cosα+3≠0,
∴2cosα-=0.從而得cos.
解法二:由題設條件知B=60°,A+C=120°
①,把①式化為cosA+cosC=-2cosAcosC ?、?,
利用和差化積及積化和差公式,②式可化為
?、?,
將cos=cos60°=,cos(A+C)=-代入③式得:
④
將cos(A-C)=2cos2()-1代入 ④:4cos2()+2cos-3=0,(*),
殲滅難點訓練
一、1.解析:其中(3)(4)正確.
答案: B
二、2.解析:∵A+B+C=π,A+C=2B,
答案:
3.解析:∵A為最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°.
∵cos(2A+C)=-,∴sin(2A+C)=.
∵C為最大角,∴B為銳角,又sinB=.故cosB=.
即sin(A+C)=,cos(A+C)=-.
∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=-,
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1=.
答案:
三、4.解:如圖:連結BD,則有四邊形ABCD的面積:
S=S△ABD+S△CDB=.AB.ADsinA+.BC.CD.sinC
∵A+C=180°,∴sinA=sinC
故S=(AB.AD+BC.CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理,在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB.AD.cosA=20-16cosA
在△CDB中,BD2=CB2+CD2-2CB.CD.cosC=52-48cosC
∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA,
∴64cosA=-32,cosA=-,又0°<A<180°,∴A=120°故S=16sin120°=8.
5.解:R=rcosθ,由此得:,
7.解:由a、b、3c成等比數(shù)列,得:b2=3ac
∴sin2B=3sinC.sinA=3(-)[cos(A+C)-cos(A-C)]
∵B=π-(A+C).∴sin2(A+C)=-[cos(A+C)-cos]
即1-cos2(A+C)=-cos(A+C),解得cos(A+C)=-.
∵0<A+C<π,∴A+C=π.又A-C=∴A=π,B=,C=.
8.解:按題意,設折疊后A點落在邊BC上改稱P點,顯然A、P兩點關于折線DE對稱,又設∠BAP=θ,∴∠DPA=θ,∠BDP=2θ,再設AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC中,
∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ,
由正弦定理知:.∴BP=
在△PBD中,,
∵0°≤θ≤60°,∴60°≤60°+2θ≤180°,∴當60°+2θ=90°,即θ=15°時,
sin(60°+2θ)=1,此時x取得最小值a,即AD最小,∴AD∶DB=2-3.