1.()定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù),偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,+∞)的圖象與f(x)的圖象重合,設(shè)a>b>0,給出下列不等式,其中正確不等式的序號(hào)是( )
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
2.()下列四個(gè)命題中:①a+b≥2 ②sin2x+≥4 ③設(shè)x,y都是正數(shù),若=1,則x+y的最小值是12 ④若|x-2|<ε,|y-2|<ε,則|x-y|<2ε,其中所有真命題的序號(hào)是__________.
3.()某公司租地建倉(cāng)庫(kù),每月土地占用費(fèi)y1與車(chē)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比,而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車(chē)站的距離成正比,如果在距車(chē)站10公里處建倉(cāng)庫(kù),這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站__________公里處.
4.()已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)數(shù)根為x1,x2.
(1)如果x1<2<x2<4,設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0,求證x0>-1;
(2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范圍.
5.()某種商品原來(lái)定價(jià)每件p元,每月將賣(mài)出n件,假若定價(jià)上漲x成(這里x成即,0<x≤10.每月賣(mài)出數(shù)量將減少y成,而售貨金額變成原來(lái)的 z倍.
(1)設(shè)y=ax,其中a是滿足≤a<1的常數(shù),用a來(lái)表示當(dāng)售貨金額最大時(shí)的x的值;
(2)若y=x,求使售貨金額比原來(lái)有所增加的x的取值范圍.
6.()設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上,對(duì)任意m、n恒有f(m+n)=f(m).f(n),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1.
(1)求證:f(0)=1,且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
(2)求證:f(x)在R上單調(diào)遞減;
(3)設(shè)集合A={ (x,y)|f(x2).f(y2)>f(1)},集合B={(x,y)|f(ax-g+2)=1,a∈R},若A∩B=,求a的取值范圍.
7.()已知函數(shù)f(x)= (b<0)的值域是[1,3],
(1)求b、c的值;
(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x),當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)若t∈R,求證:lg≤F(|t-|-|t+|)≤lg.
[科普美文]數(shù)學(xué)中的不等式關(guān)系
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),恩格斯在《自然辯證法》一書(shū)中指出,數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式,數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著極為豐富的辯證唯物主義因素,等與不等關(guān)系正是該點(diǎn)的生動(dòng)體現(xiàn),它們是對(duì)立統(tǒng)一的,又是相互聯(lián)系、相互影響的;等與不等關(guān)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的關(guān)系.
等的關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和統(tǒng)一美,不等關(guān)系則如同仙苑奇葩呈現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的奇異美.不等關(guān)系起源于實(shí)數(shù)的性質(zhì),產(chǎn)生了實(shí)數(shù)的大小關(guān)系,簡(jiǎn)單不等式,不等式的基本性質(zhì),如果把簡(jiǎn)單不等式中的實(shí)數(shù)抽象為用各種數(shù)學(xué)符號(hào)集成的數(shù)學(xué)式,不等式發(fā)展為一個(gè)人丁興旺的大家族,由簡(jiǎn)到繁,形式各異.如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關(guān)系,又產(chǎn)生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的嗎?顯然不是,由此又產(chǎn)生了解不等式與證明不等式兩個(gè)極為重要的問(wèn)題.解不等式即尋求不等式成立時(shí)變量應(yīng)滿足的范圍或條件,不同類型的不等式又有不同的解法;不等式證明則是推理性問(wèn)題或探索性問(wèn)題.推理性即在特定條件下,闡述論證過(guò)程,揭示內(nèi)在規(guī)律,基本方法有比較法、綜合法、分析法;探索性問(wèn)題大多是與自然數(shù)n有關(guān)的證明問(wèn)題,常采用觀察-歸納-猜想-證明的思路,以數(shù)學(xué)歸納法完成證明.另外,不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構(gòu)造法等.
數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體,它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系.不等式的知識(shí)滲透在數(shù)學(xué)中的各個(gè)分支,相互之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,因此不等式又可作為一個(gè)工具來(lái)解決數(shù)學(xué)中的其他問(wèn)題,諸如集合問(wèn)題,方程(組)的解的討論,函數(shù)單調(diào)性的研究,函數(shù)定義域的確定,三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系.許多問(wèn)題最終歸結(jié)為不等式的求解或證明;不等式還可以解決現(xiàn)實(shí)世界中反映出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.不等式中常見(jiàn)的基本思想方法有等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程.總之,不等式的應(yīng)用體現(xiàn)了一定的綜合性,靈活多樣性.
等與不等形影不離,存在著概念上的親緣關(guān)系,是中學(xué)數(shù)學(xué)中最廣泛、最普遍的關(guān)系.數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性,而不等關(guān)系是深刻而生動(dòng)的體現(xiàn).不等雖沒(méi)有等的溫柔,沒(méi)有等的和諧,沒(méi)有等的恰到好處,沒(méi)有等的天衣無(wú)縫,但它如山之挺拔,峰之雋秀,海之寬闊,天之高遠(yuǎn),怎能不讓人心曠神怡,魂?duì)繅?mèng)繞呢?
難點(diǎn)20 不等式的綜合應(yīng)用 不等式是繼函數(shù)與方程之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容之一,作為解決問(wèn)題的工具,與其他知識(shí)綜合運(yùn)用的特點(diǎn)比較突出.不等式的應(yīng)用大致可分為兩類:一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;另一類是建立函數(shù)關(guān)系,利用均值不等式求最值問(wèn)題、本難點(diǎn)提供相關(guān)的思想方法,使考生能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)、定理和方法解決函數(shù)、方程、實(shí)際應(yīng)用等方面的問(wèn)題. ●難點(diǎn)磁場(chǎng) ()設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0<x1<x2<. (1)當(dāng)x∈參考答案
參考答案
難點(diǎn)磁場(chǎng)
解:(1)令F(x)=f(x)-x,因?yàn)?i>x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,
又a>0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x)
x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0,由此得f(x)<x1.
(2)依題意:x0=-,因?yàn)?i>x1、x2是方程f(x)-x=0的兩根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.
∴x1+x2=-
∴x0=-,因?yàn)?i>ax2<1,
∴x0<
殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析:由題意f(a)=g(a)>0,f(b)=g(b)>0,且f(a)>f(b),g(a)>g(b)
∴f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)
而g(a)-g(-b)=g(a)-g(b)∴g(a)+g(b)-[g(a)-g(b)]
=2g(b)>0,∴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)
同理可證:f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)
答案:A
二、2.解析:①②③不滿足均值不等式的使用條件“正、定、等”.④式:|x-y|=|(x-2)-(y-2)|≤|(x-2)-(y-2)|≤|x-2|+|y-2|<ε+ε=2ε.
答案:④
3.解析:由已知y1=;y2=0.8x(x為倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站距離)費(fèi)用之和y=y1+y2=0.8x+ ≥2=8
當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=即x=5時(shí)“=”成立
答案:5公里處
三、4.證明:(1)設(shè)g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,且x>0.
∵x1<2<x2<4,∴(x1-2)(x2-2)<0,即x1x2<2(x1+x2)-4,
(2)解:由方程g(x)=ax2+(b-1)x+1=0可知x1.x2=>0,所以x1,x2同號(hào)
1°若0<x1<2,則x2-x1=2,∴x2=x1+2>2,
∴g(2)<0,即4a+2b-1<0 ①
又(x2-x1)2=
∴2a+1= (∵a>0)代入①式得,
2<3-2b ②
解②得b<
2°若 -2<x1<0,則x2=-2+x1<-2
∴g(-2)<0,即4a-2b+3<0 ③
又2a+1=,代入③式得
2<2b-1 ④
解④得b>.
綜上,當(dāng)0<x1<2時(shí),b<,當(dāng)-2<x1<0時(shí),b>.
5.解:(1)由題意知某商品定價(jià)上漲x成時(shí),上漲后的定價(jià)、每月賣(mài)出數(shù)量、每月售貨金額分別是:p(1+)元、n(1-)元、npz元,因而
,在y=ax的條件下,z=[-a
[x-]2+100+].由于≤a<1,則0<≤10.
要使售貨金額最大,即使z值最大,此時(shí)x=.
(2)由z= (10+x)(10-x)>1,解得0<x<5.
6.(1)證明:令m>0,n=0得:f(m)=f(m).f(0).∵f(m)≠0,∴f(0)=1
取m=m,n=-m,(m<0),得f(0)=f(m)f(-m)
∴f(m)=,∵m<0,∴-m>0,∴0<f(-m)<1,∴f(m)>1
(2)證明:任取x1,x2∈R,則f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]
=f(x1)-f(x2-x1).f(x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)],
∵f(x1)>0,1-f(x2-x1)>0,∴f(x1)>f(x2),
∴函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).
(3)由,由題意此不等式組無(wú)解,數(shù)形結(jié)合得:≥1,解得a2≤3
∴a∈[-,]
7.(1)解:設(shè)y=,則(y-2)x2-bx+y-c=0 ①
∵x∈R,∴①的判別式Δ≥0,即 b2-4(y-2)(y-c)≥0,
即4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0 ②
由條件知,不等式②的解集是[1,3]
∴1,3是方程4y2-4(2+c)y+8c+b2=0的兩根
∴c=2,b=-2,b=2(舍)
(2)任取x1,x2∈[-1,1],且x2>x1,則x2-x1>0,且
(x2-x1)(1-x1x2)>0,∴f(x2)-f(x1)=->0,
∴f(x2)>f(x1),lgf(x2)>lgf(x1),即F(x2)>F(x1)
∴F(x)為增函數(shù).
即-≤u≤,根據(jù)F(x)的單調(diào)性知
F(-)≤F(u)≤F(),∴l(xiāng)g≤F(|t-|-|t+|)≤lg對(duì)任意實(shí)數(shù)t 成立.
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com