1. 已知映射,其中,對應(yīng)法則若對實數(shù),在集合A中不存在原象,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
2. 的展開式中的系數(shù)為 ( )
A. B. C. D.
3.在等差數(shù)列中,若,則的值為 ( )
A.14 B.15 C.16 D.17
4.已知,則的值為 ( )
A. B. C. D.
5.設(shè)地球的半徑為,若甲地位于北緯東經(jīng),乙地位于南緯東經(jīng),則甲、乙兩地的球面距離為 ( )
A. B. C. D.
6.若是常數(shù),則“”是“對任意,有”的 ( )
A.充分不必要條件. B.必要不充分條件.
C.充要條件. D.既不充分也不必要條件.
7.雙曲線的左、右頂點分別為、,為其右支上一點,且,則等于 ( )
A. 無法確定 B. C. D.
8.已知直線(不全為)與圓有公共點,且公共點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù),那么這樣的直線有 ( )
A.66條 B.72條 C.74條 D.78條
9. (文科做) 從8名女生,4名男生中選出6名學(xué)生組成課外小組,如果按性別比例分層抽樣,則不同的抽取方法種數(shù)為 ( )
A. B. C. D.
(理科做)為了解某校高三學(xué)生的視力情況,隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況,得到頻率分布直方圖,如右,由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)最大頻率為a,視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b,則a, b的值分別為( )
A.0,27,78 B.0,27,83
C.2.7,78 D.2.7,83
10. (理科做) ( )
A. B. C.1 D.
(文科做)如圖,函數(shù)的圖象是中心在原點,焦點在軸上的橢圓的兩段弧,則不等式的解集為 ( )
A.
B.
C.
D.
11.用正偶數(shù)按下表排列
|
第1列 |
第2列 |
第3列 |
第4列 |
第5列 |
第一行 |
|
2 |
4 |
6 |
8 |
第二行 |
16 |
14 |
12 |
10 |
|
第三行 |
|
18 |
20 |
22 |
24 |
… |
|
… |
28 |
26 |
|
則2006在第 行第 列.
A.第 251 行第 3 列 B.第 250 行第 4 列
C.第 250 行第 3 列 D.第 251 行第 4 列
12.半徑為4的球面上有A、B、C、D四點,且AB,AC,AD兩兩互相垂直,則、、面積之和的最大值為 ( )
A.8 B.16 C.32 D.64
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
13.(理科做)
(文科做)命題“若都是偶數(shù),則是偶數(shù)”的否命題是_________
14.函數(shù)的定義域是 .
15.定義一種運算“”對于正整數(shù)滿足以下運算性質(zhì):
(1);(2),則的值是
16.如果直線與圓相交于兩點,且點關(guān)于直線對稱,則不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為________.
17. (本小題滿分12分,第一、第二、第三小問滿分各4分)
已知函數(shù).
(1)求的定義域;
(2)求該函數(shù)的反函數(shù);
(3)判斷的奇偶性.
18.(本小題滿分12分,第一、第二小問滿分各6分)某港口水的深度 y(米)是時間t(,單位:時)的函數(shù),記作y=f(t),下面是某日水深的數(shù)據(jù):
t(時) |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
y(米) |
10.0 |
13.0 |
10.01 |
7.0 |
10.0 |
13.0 |
10.01 |
7.0 |
10.0 |
經(jīng)長期觀察,y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)的圖象.
(Ⅰ)試根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)的近似表達式;
(Ⅱ)一般情況下,船舶航行時,船底離海底的距離為5米或5米以上時認(rèn)為是安全的(船舶??繒r,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5米.如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港,請問,它至多能在港內(nèi)停留多長時間(忽略進出港所需的時間).
19. (文科做本小題滿分12分,第一、第二小問滿分各6分)已知某種從太空飛船中帶回的植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為,某植物研究所分兩個小組分別獨立開展該種子的發(fā)芽實驗,每次實驗種一粒種子,假定某次實驗種子發(fā)芽則稱該次實驗是成功的,如果種子沒有發(fā)芽,則稱該次實驗是失敗的.
(1) 第一小組做了三次實驗,求至少兩次實驗成功的概率;
(2) 第二小組進行試驗,到成功了4次為止,求在第四次成功之前共有三次失敗,且恰有兩次連續(xù)失敗的概率.
19.(理科做本小題滿分12分第一、第二小問滿分各6分)某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響,設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.
(Ⅰ)求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2,+∞上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.
20.(本小題滿分12分,第一、第二小問滿分各6分)
如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1 中,側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角, AA1= 2.底面ABC是邊長為2的正三角形,其重心為G點。E是線段BC1上一點,且BE=BC1 .
(1)求證: GE∥側(cè)面AA1B1B ;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小 .
21.(本小題滿分14分,第一小問滿分4分,第二、第三小問滿分各5分)設(shè)函數(shù) (a、b、c、d∈R)圖象關(guān)于原點對稱,且x=1時,取極小值
(1)求a、b、c、d的值;
(2)當(dāng)時,圖象上是否存在兩點,使得過此兩點處的切線互相垂直?試證明你的結(jié)論;
(3)若時,求證:.
22.(本小題滿分12分,第一、第二小問滿分各6分)過拋物線的對稱軸上的定點,作直線與拋物線相交于兩點.
(1)試證明兩點的縱坐標(biāo)之積為定值;
(2)若點是定直線上的任一點,試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.
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1.B
提示:設(shè),據(jù)題意知此方程應(yīng)無實根
, ,故選B
2. B
提示:
展開式中的系數(shù)為 故選B
3.C
提示:設(shè)等差數(shù)列的公差為, 由等差數(shù)列的性質(zhì)知:
,選C.
4.D
提示:由已知得,兩邊平方得,求得.
或令,則,所以
5.D
提示:求兩點間的球面距離,先要求出球心與這兩點所成的圓心角的大小,∠AOB=120°,∴ A、B兩點間的球面距離為×2πR=. 選D.
6.A
提示:易知對任意恒成立。
反之,對任意恒成立不能推出
反例為當(dāng)時也有對任意恒成立
“”是“對任意,有的充分不必要條件,選A.
7.D
提示:設(shè),,過點作軸的垂線,垂足為,則
( 其中)
設(shè) , 則
, 即, 故選 D.
8.B
提示:先考慮時,圓上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點有、、,依圓的對稱性知,圓上共有個點橫縱坐標(biāo)均為整數(shù),經(jīng)過其中任意兩點的割線有條,過每一點的切線共有12條,又考慮到直線不經(jīng)過原點,而上述直線中經(jīng)過原點的有6條,所以滿足題意的直線共有條,故選B.
9. (文科做) A
提示:應(yīng)從8名女生中選出4人,4名男生中選出2人,有種選法,故選A.
(理科做)A
提示:注意到縱軸表示,
由圖象可知,前4組的公比為3,
最大頻率,設(shè)后六組公差為,則,解得:,
即后四組公差為, 所以,視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為
0.27+0.22+0.17+0.12)×100=78(人).選A.
10.(理科做) D
提示: 故選D.
(文科做)A
提示:由圖象知為奇函數(shù)知,
原不等式可化為,此不等式的幾何含義是的圖象在圖象下方的對應(yīng)的的取值集合,將橢圓與直線聯(lián)立得 ,.
觀察圖象知故選A.
11.D
提示: 每行用去4個偶數(shù),而2006是第2006÷2=1003個偶數(shù)
又1003÷4=
前250行共用去250×4=1000個偶數(shù),剩下的3個偶數(shù)放入251行,考慮到奇數(shù)行所排數(shù)從左到右由小到大,且前空一格,
2006在251行,第4列 故選D.
12.C
提示:由AB,AC,AD兩兩互相垂直,將之補成長方體知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64.
≤=.
等號當(dāng)且僅當(dāng)取得,所以的最大值為32 ,選C.
13.(理科做)
提示:
(文科做) 若不都是偶數(shù),則不是偶數(shù)
14.(lg2,+∞)
提示:由已知得,即,所以.
15.
提示:設(shè) 則且
, 即,
16.
提示: 兩點,關(guān)于直線對稱,
,又圓心在直線上
原不等式組變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384098_1/image185.gif">作出不等式組表示的平面區(qū)域并計算得面積為.
17. 解: (1) 故函數(shù)的定義域是(-1,1)
(2)由,得(R),所以,
所求反函數(shù)為 ( R).
(3) ==-,所以是奇函數(shù).
18. 解:(Ⅰ)由已知數(shù)據(jù),易知函數(shù)y=f(t)的周期T=12,振幅A=3, b=10
∴(0≤t≤24)
(Ⅱ)由題意,該船進出港時,水深應(yīng)不小于5+6.5=11.5(米)
∴
∴ 解得,
在同一天內(nèi),取k=0或1
∴1≤t≤5或13≤t≤17
∴該船最早能在凌晨1時進港,下午17時出港,在港口內(nèi)最多停留16個小時。
19. (文科做)
解:(1) 第一小組做了三次實驗,至少兩次實驗成功的概率是
.
(2) 第二小組在第4次成功前,共進行了6次試驗,其中三次成功三次失敗,且恰有兩次連續(xù)失敗,其各種可能的情況種數(shù)為.因此所求的概率為
.
(理科做)
解:(I)分別記“客人游覽甲景點”,“客人游覽乙景點”,“客人游覽丙景點”
為事件A1,A2,A3. 由已知A1,A2,A3相互獨立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6.
客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0,1,2,3. 相應(yīng)地,客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3,2,1,0,所以的可能取值為1,3.
P(=3)=P(A1.A2.A3)+ P()
= P(A1)P(A2)P(A3)+P()
=2×0.4×0.5×0.6=0.24,
|
所以的分布列為
E=1×0.76+3×0.24=1.48.
(Ⅱ)解法一 因為
所以函數(shù)上單調(diào)遞增,
要使上單調(diào)遞增,當(dāng)且僅當(dāng)
從而
解法二:的可能取值為1,3.
當(dāng)=1時,函數(shù)上單調(diào)遞增,
當(dāng)=3時,函數(shù)上不單調(diào)遞增,
所以
20. 解:(1)延長B1E交BC于F, ∵ΔB1EC∽ΔFEB, BE=EC1
∴BF=B1C1=BC,從而F為BC的中點.
∵G為ΔABC的重心,∴A、G、F三點共線,且= =,∴GE∥AB1,
又GE側(cè)面AA1B1B, ∴GE∥側(cè)面AA1B1B
(2)在側(cè)面AA1B1B內(nèi),過B1作B1H⊥AB,垂足為H,∵側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,
∴B1H⊥底面ABC.又側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角, AA1= 2,
∴∠B1BH=600,BH=1,B1H=.
在底面ABC內(nèi),過H作HT⊥AF,垂足為T,連B1T.由三垂線定理有B1T⊥AF,
又平面B1GE與底面ABC的交線為AF,∴∠B1TH為所求二面角的平面角.
∴AH=AB+BH=3,∠HAT=300, ∴HT=AHsin300=,
在RtΔB1HT中,tan∠B1TH== ,
從而平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan
21.解(1)∵函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,∴對任意實數(shù),
,即恒成立
,
時,取極小值,解得
(2)當(dāng)時,圖象上不存在這樣的兩點使結(jié)論成立.
假設(shè)圖象上存在兩點、,使得過此兩點處的切線互相垂直,
則由知兩點處的切線斜率分別為,
且 ( *)
、,
此與(*)相矛盾,故假設(shè)不成立.
證明(3),
或,
上是減函數(shù),且
∴在[-1,1]上,時,
.
22.(1)證明:.設(shè) 有,下證之:
設(shè)直線的方程為:與聯(lián)立得
消去得
由韋達定理得 ,
(2)解:三條直線的斜率成等差數(shù)列,下證之:
設(shè)點,則直線的斜率為;
直線的斜率為
又直線的斜率為
即直線的斜率成等差數(shù)列.