1. 已知集合則為
A. B. C. D.
2.設(shè)i為虛數(shù)單位,則展開式中的第三項為
A B C 30 D
3.為互不相等的正數(shù),且,則下列關(guān)系中可能成立的是
A. B. C. D.
4.計算機的價格大約每3年下降,那么今年花8100元買的一臺計算機,9年后的價格大約是
A. 2400元 B. 900元 C. 300元 D. 100元
|
1.99 |
3 |
4 |
5.1 |
6.12 |
|
1.5 |
4.04 |
7.5 |
12 |
18.01 |
5.在某種新型材料的研制中,實驗人員獲得了右邊一組實驗數(shù)據(jù):現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個是
A. B. C. D.
6.兩個正數(shù)a、b的等差中項是,一個等比中項是,且則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
7.對、,運算“”、“”定義為:=,=,則下列各式其中恒成立的是
?、?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384092_1/image048.gif"> ⑵
⑶ ⑷
A. ⑴、⑵、⑶、⑷ B. ⑴、⑵、⑶ C. ⑴、⑶ D.⑵、⑷
8. 已知:,直線和曲線有兩個不同的交點,它們圍成的平面區(qū)域為M,向區(qū)域上隨機投一點A,點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為,若,則實數(shù)m的取值范圍為[]
A. B. C. D.
9.由拋物線和直線所圍成圖形的面積為________________.
10.已知點P(2,1)在圓C:上,點P關(guān)于直線的對稱點也在圓C上,則圓C的圓心坐標(biāo)為 、半徑為 .
11. 設(shè),則 .
12.某中學(xué)號召學(xué)生在暑假期間至少參加一次社會公益活動(以下簡
稱活動).該校文學(xué)社共有100名學(xué)生,他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如
右圖所示.則該文學(xué)社學(xué)生參加活動的人均次數(shù)為 ;從文學(xué)
社中任意選兩名學(xué)生,他們參加活動次數(shù)不同的概率是 .
13. (幾何證明選講選做題) 如圖,是半圓的直徑,點在半圓上,
于點,且,設(shè),則= .
14. (不等式選講選做題) 函數(shù)y=的最大值為 .
15.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)系中,已知直線過點(1,0),且其向上的方向與極軸的正方向所成的最小正角為,則直線的極坐標(biāo)方程為______________.
16.(本小題滿分12分)
已知:向量 ,,函數(shù)
(1)若且,求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間以及函數(shù)取得最大值時,向量與的夾角.
17.(本小題滿分13分)[]
已知函數(shù) ,函數(shù)
(1)判斷方程的零點個數(shù);
(2)解關(guān)于的不等式,并用程序框圖表示你的求解過程.
18.(本小題滿分14分)
已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下,E是側(cè)棱PC上的動點。
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)是否不論點E在何位置,都有BD⊥AE?證明你的結(jié)論;
(3)若點E為PC的中點,求二面角D-AE-B的大?。?/p>
19.(本小題滿分13分)
為迎接2008年奧運會召開,某工藝品加工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)具有收藏價值的奧運會標(biāo)志--“中國印.舞動的北京”和奧運會吉祥物--“福娃”.該廠所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬,已知生產(chǎn)一套奧運會標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒,生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒.若奧運會標(biāo)志每套可獲利700元,奧運會吉祥物每套可獲利1200元,該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒.問該廠生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物各多少套才能使該廠月利潤最大,最大利潤為多少?
20.(本小題滿分14分)
設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點,與x軸相交于點C,記O為坐標(biāo)原點.
(1)證明:;
(2)若的面積取得最大值時的橢圓方程.
21.(本小題滿分14分)
已知二次函數(shù)同時滿足:①不等式≤0的解集有且只有一個元素;②在定義域內(nèi)存在,使得不等式成立,設(shè)數(shù)列{}的前項和.
(1)求函數(shù)的表達式;
(2) 設(shè)各項均不為0的數(shù)列{}中,所有滿足的整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列{}的變號數(shù),令(),求數(shù)列{}的變號數(shù); []
(3)設(shè)數(shù)列{}滿足:,試探究數(shù)列{}是否存在最小項?若存在,求出該項,若不存在,說明理由.
絕密啟用前 08年高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)第一次模擬考試題 數(shù)學(xué)(理科) 本試卷共4頁,21小題,滿分150分。考試用時l20分鐘。 參考公式:錐體的體積公式,其中是錐體的底面積,是錐體的高. 如果事件、互斥,那么. 如果事件、相互獨立,那么.參考答案
數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分說明
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細則.
二、對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定給分,但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤,就不再給分.
三、解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù).
一.選擇題:CDCD BBCD
解析:1. ∵∴=,選C.
2.在展開式中,,故選D.
3.由可排除A,D,令可得可知C可能成立。
4. 9年后的價格大約是元,選C.
5.由該表提供的信息知,該模擬函數(shù)在應(yīng)為增函數(shù),故排除D,將、4…代入選項A、B、C易得B最接近,故答案應(yīng)選B. []
6. 由已知得,,,選D。
7.由定義知⑴、⑶恒成立,⑵⑷不恒成立,正確答案C.
8.已知直線過半圓上一點(-2,0),當(dāng)時,
直線與x軸重合,這時m=0,故可排除A,C,若m=1,如圖可求得當(dāng),故選D.
二.填空題:9. ;10. (0,1)、2;11. ;12.2.2、;13.;14. 10; 15. .
解析:9. 由定積分的幾何意義得,所求面積.
10.由點P(2,1)在圓上得,由點P關(guān)于直線的對稱點也在圓C上知直線過圓心,
即滿足方程,∴,圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑2。
11. 由得…
12. 由統(tǒng)計圖知該文學(xué)社學(xué)生參加活動的人均次數(shù)為
從中任意選兩名學(xué)生,他們參加活動次數(shù)不同的概率是.
13. 即,
14. 根據(jù)柯西不等式,得
15.由正弦定理得即,∴所求直線的極坐標(biāo)方程為.
三.解答題:
16.解:∵=-----------------2分
(1)由得即
∵ ∴或
∴或 -------------------------------------------------4分
(2)∵
=[]
----------------------------------8分
由得
∴的單調(diào)增區(qū)間.---------------------------------10分
由上可得,當(dāng)時,由得
, ∴-------------12分
17.解:(1)∵ ∴----------1分
∵
∴當(dāng)時,方程有一個零點;
當(dāng)時,方程有兩個零點;------3分
(2)將不等式化為 -----5
當(dāng) ------6分
當(dāng) ----7分
當(dāng) ---------8分
求解過程的程序框圖如右圖:
注:完整畫出框圖給4分,(3)、(4)缺一且其它完整給2分,其它畫法請參照給分。
18.(1)解:由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,
側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2. ---------------------------------2分
∴----------------------------4分[]
(2) 不論點E在何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------5分
證明如下:連結(jié)AC,∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC-----------7分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不論點E在何位置,都有AE平面PAC
∴不論點E在何位置,都有BD⊥AE ----------------------------------------------9分
(3) 解法1:在平面DAE內(nèi)過點D作DG⊥AE于G,連結(jié)BG
∵CD=CB,EC=EC, ∴≌
∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴為二面角D-EA-B的平面角--------------------------12分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rt△ADE中==BG
在△DGB中,由余弦定理得
∴=-----------------------14分
[解法2:以點C為坐標(biāo)原點,CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示:
則,從而--------------11分
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為
由法向量的性質(zhì)可得:,
令,則,∴------13分
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為,則[]
∴--------------------------------------------------------14分]
19.解:設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物分別為套,月利潤為元,由題意得
() -----------------------4分
目標(biāo)函數(shù)為…………5分
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即
可行域,如圖: …………7分
目標(biāo)函數(shù)可變形為,
∴當(dāng)通過圖中的點A時,最大,這時Z最大。
解得點A的坐標(biāo)為(20,24), …………10分
將點代入得元
答:該廠生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物分別為20,24套時月利潤最大,最大利潤為42800元----12分
20.(1)證明:由 得
將代入消去得
?、?………………………… 3分
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點得
整理得,即 ………5分
(2)解:設(shè)由①,得
∵而點, ∴
得代入上式,得 ……………8分
于是,△OAB的面積 --------11分
其中,上式取等號的條件是即 ……………………12分[]
由可得
將及這兩組值分別代入①,均可解出
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是………………14分
21.解(1)∵不等式≤0的解集有且只有一個元素
∴ 解得或----------------------------2分
當(dāng)時函數(shù)在遞增,不滿足條件②
當(dāng)時函數(shù)在(0,2)上遞減,滿足條件②
綜上得,即------------------------------4分
(2)由(1)知
當(dāng)時,
當(dāng)≥2時==
∴-------------------------------------------6分
由題設(shè)可得---------------------------------------7分
∵,,∴,都滿足
∵當(dāng)≥3時,
即當(dāng)≥3時,數(shù)列{}遞增,[]
∵,由,可知滿足
∴數(shù)列{}的變號數(shù)為3。--------------------------------------9分
(3)∵=, 由(2)可得:
--------------11分
==-------13分
∵當(dāng)時數(shù)列{}遞增,∴當(dāng)時,最小, 又∵,
∴數(shù)列{}存在最小項-----------------------------14分
(或∵=,由(2)可得:
--------------11分
=
對于函數(shù) ∵[]
∴函數(shù)在上為增函數(shù),∴當(dāng)時數(shù)列{}遞增,
∴當(dāng)時,最小,--------13分
又∵, ∴數(shù)列{}存在最小項-------------------14分)