1.對(duì)于,給出下列四個(gè)不等式
① ②
③ ④
其中成立的是 ( D )
A.①與③ B.①與④ C.②與③ D.②與④
2.設(shè)z=x-y ,式中變量x和y滿足條件則z的最小值為
( A )
(A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3
3.不等式的解集是 ( A )
A. B.
C. D.
4.不等式的解集為 ( A )
A. B.
C. D.
5.一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是: ( C )
A. B. C. D.
6. 若是等差數(shù)列,首項(xiàng),則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是: ( B )
A.4005 B.4006 C.4007 D.4008
7.已知a、b、c滿足,且,那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是 ( C )
A. B. C. D.
8.函數(shù)上的最大值和最小值之和為a,則a的值為 ( B )
A. B. C.2 D.4
9.若,則下列不等式①;②③;
④中,正確的不等式有 ( B )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
10.設(shè)集合
,那么點(diǎn)P(2,3)的充要條件是( A )
A. B.
C. D.
11.設(shè)則以下不等式中不恒成立的是 ( B )
A. B.
C. D.
12.命題p:若a、b∈R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件;
命題q:函數(shù)y=的定義域是(-∞,-1∪[3,+∞.則 ( D )
A.“p或q”為假 B.“p且q”為真
C.p真q假 D.p假q真
13.的最小值為
( B )
A.- B.- C.-- D.+
14.不等式的解集為 ( A )
A. B.
C. D.
15.設(shè)函數(shù) ,則使得的自變量的取值范圍為 ( A )
A. B.
C. D.
16.不等式的解集為 ( D )
A. B. C. D.
17.不等式|x+2|≥|x|的解集是 {x|x≥-1} .
18.已知則不等式≤5的解集是 .
19.在函數(shù)中,若a,b,c成等比數(shù)列且,則有最____大__________值(填“大”或“小”),且該值為_____-3_________.
20.某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi),沿左.右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1寬的通道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)?蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少?
本小題主要考查把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力.
解:設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為a m,后側(cè)邊長(zhǎng)為b m,則 ab=800.
蔬菜的種植面積
所以
當(dāng)
答:當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m,后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí),蔬菜的種植面積最大,最大種植面積為648m2.
21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.
(1)寫出數(shù)列的前三項(xiàng);
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)證明:對(duì)任意的整數(shù),有 .
本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和以及不等式的證明.考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
(Ⅰ)解:由
由
由
(Ⅱ)解:當(dāng)時(shí),有
……
所以
經(jīng)驗(yàn)證a1也滿足上式,所以
(Ⅲ)證明:由通項(xiàng)公式得
當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以對(duì)任意整數(shù)m>4,有
22.已知函數(shù)滿足下列條件:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,x2都有
和,其中是大于0的常數(shù).
設(shè)實(shí)數(shù)a0,a,b滿足 和
(Ⅰ)證明,并且不存在,使得;
(Ⅱ)證明;
(Ⅲ)證明.
本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí),以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.滿分14分.
證明:(I)任取
和 ②
可知 ,
從而 . 假設(shè)有①式知
∴不存在
(II)由 ③
可知 ?、?/p>
由①式,得 ⑤
由和②式知, ⑥
由⑤、⑥代入④式,得
(III)由③式可知
(用②式)
(用①式)
23.如圖,直線相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1,過(guò)點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2,…,這樣一直作下去,可得到一系列點(diǎn)P1、Q1、P2、Q2,…,點(diǎn)Pn(n=1,2,…)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)比較的大小.
(Ⅰ)證明:設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是,由已知條件得
點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是:
由Pn+1在直線l1上,得
所以 即
(Ⅱ)解:由題設(shè)知 又由(Ⅰ)知 ,
所以數(shù)列 是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.
從而
(Ⅲ)解:由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).
所以
(i)當(dāng)時(shí),>1+9=10.
而此時(shí)
(ii)當(dāng)時(shí),<1+9=10.
而此時(shí)
24.某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元,因設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元,今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第n年(今年為第一年)的利潤(rùn)為500(1+)萬(wàn)元(n為正整數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)從今年起的前n年,若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬(wàn)元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬(wàn)元(須扣除技術(shù)改造資金),求An、Bn的表達(dá)式;
(Ⅱ)依上述預(yù)測(cè),從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)?
本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿分12分.
解:(Ⅰ)依題設(shè),An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]-600=500n--100.
(Ⅱ)Bn-An=(500n--100) -(490n-10n2)
=10n2+10n--100=10[n(n+1) - -10].
因?yàn)楹瘮?shù)y=x(x+1) --10在(0,+∞)上為增函數(shù),
當(dāng)1≤n≤3時(shí),n(n+1) - -10≤12--10<0;
當(dāng)n≥4時(shí),n(n+1) - -10≥20--10>0.
∴僅當(dāng)n≥4時(shí),Bn>An.
答:至少經(jīng)過(guò)4年,該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).
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