1.人教A版選修2-2第79頁例1:已知數(shù)列的第1項(xiàng),且,試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
變式1:已知數(shù)列的第1項(xiàng),且,試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解:,,…,一般地有;
本題也可以直接求出通項(xiàng)公式.
由得,,即,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為2的等差數(shù)列,則,
而,則.
理科學(xué)生還可以先歸納,提出猜想,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
變式2:已知數(shù)列的第1項(xiàng),且,試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解:,,…,一般地有;
本題也可以直接求出通項(xiàng)公式.
由得,,即,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,則,
而,則.
由變式(1)、變式(2)你能總結(jié)出什么規(guī)律?
對滿足型的數(shù)列,當(dāng)時(shí)采取取倒數(shù)的方法即可得出數(shù)列是等差數(shù)列,再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng).
變式3:(2005年高考湖南卷)已知數(shù)列的第1項(xiàng),且,則
A.0 B. C. D.
解法1:由于,,則,,,由此歸納出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列,則,選B.
解法2:,令,則,
則,即,,
而,則,;
變式4:(2007年廣州市高考二模)已知數(shù)列滿足,(),則的值為 , 的值為 .
[思路1]分別求出、、、,可以發(fā)現(xiàn),且,故.
[思路2]由,聯(lián)想到兩角和的正切公式,設(shè),則有,,,,…….
則,故.
從以上變式3到變式5,你能受到什么啟發(fā)呢?結(jié)構(gòu)與兩角和或差正切公式相似,這樣的數(shù)列一定是周期數(shù)列.
2.人教A版選修2-2第83頁例3:類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.
變式1:直角三角形與直角四面體的性質(zhì)類比
平面內(nèi)直角三角形的性質(zhì) |
空間中直角四面體的性質(zhì) |
在ΔABC中,∠BCA=900,點(diǎn)C在AB上的射影為D,則有下列結(jié)論: (1) 點(diǎn)D在線段AB上. (2) AB>AC,AB>BC, 即直角三角形三邊中斜邊最長. (3) 射影定理: AC2=ADAB, CB2=DBAB, CD2=ADDB (4) |
在四面體SABC中,三個(gè)平面SAB、平面SBC、平面SAC兩兩垂直,點(diǎn)S在底面上的射影為O,則有類似結(jié)論: (1) 點(diǎn)O在ΔABC內(nèi). (2) ΔABC,ΔABS,ΔSBC,ΔASC中,ΔABC的面積最大; (3) (4) |
以上結(jié)論的證明如下:
(1)由題設(shè)SA,SB,SC兩兩垂直,則三角形SBC為直角三角形,則斜邊BC邊上的高SD在三角形SBC內(nèi),即點(diǎn)D在BC上,
連結(jié)AD,則BC⊥平面SAD,則平面ABC⊥平面ASD,過點(diǎn)S在面SAD內(nèi)作SOAD于O,則SO⊥平面ABC,即點(diǎn)S在平面ABC的射影為O;
由于三角形SAD為直角三角形,則斜邊AD上的高的垂足O在線段AD上,即O在三角形ABC內(nèi).
(2)由于,,
∵SAD為直角三角形,則斜邊,故;
同理可證:,.
(3),而在直角三角形ASD中,,
∴,
因此 .,同理可證,.
(4)在直角三角形SAD中,由于SOAD于O,則,
在直角三角形SBC中,由于SDBC于D,則,
因此.
變式2:平面內(nèi)的一般三角形與空間中的四面體性質(zhì)類比
三角形 |
四面體 |
三角形兩邊之和大于第三邊. |
四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積. |
三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)且該點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心. |
四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn),且該點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心. |
三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊,且等于第三邊的一半. |
四面體任意三條棱的中點(diǎn)連成的三角形的面積等于第四個(gè)面面積的,且該三角形所在平面平行于第四個(gè)面. |
三角形的任何一條邊上的中線將三角形分成面積相等的兩部分. |
四面體的任何一個(gè)三角形面上的一條中線和這個(gè)三角形所在平面外一頂點(diǎn)所確定的平面將這個(gè)四面體分成體積相等的兩部分. |
三角形的三條中線交于一點(diǎn),且三角形的每一條中線被該點(diǎn)分成的兩段的比為2:1. |
將四面體的每一個(gè)頂點(diǎn)和對面的重心相連接,所得四條線段交于一點(diǎn),且其中每一條線段被交點(diǎn)分成的兩段的比都是3:1 |
在ΔABC中,的平分線交BC于D,則; |
在四面體ABCD中,二面角C-AB-D的平分面交棱CD于點(diǎn)E,則,; |
在ΔABC中,(正弦定理) |
在四面體ABCD中,棱AB與面ACD、BCD的夾角分別,,則 |
設(shè)ΔABC的三邊長分別為、、,ΔABC的面積為,內(nèi)切圓半徑為,外接圓半徑為,則 (1) (2) |
四面體S-ABCD的四個(gè)側(cè)面的面積分別為,,,,內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為,則(1) (2) |
以上性質(zhì),限于篇幅,不再一一證明.
變式3:平面內(nèi)三角形與空間中的三棱柱性質(zhì)類比
三角形 |
三棱柱 |
三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180 |
三棱柱的任意兩個(gè)側(cè)面所成的三個(gè)二面角之和為180. |
三角形中任意兩個(gè)兩邊之和大于第三邊 |
三棱柱的任意兩個(gè)側(cè)面的面積之和大于第三個(gè)側(cè)面的面積 |
三角形中較大的邊所對的角較大;反之,較大的角所對的邊也較大. |
三棱柱中面積較大的側(cè)面所對的二面角較大;反之,較大的二面角所對的側(cè)面的面積也較大. |
三角形中位線定理:三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊,且等于第三邊的一半. |
經(jīng)過三棱柱ABC-A1B1C1的棱A1C1、B1C1、BC中點(diǎn)D、E、F的平面與側(cè)面A1B1BA平行,且該平面被三棱柱ABC-A1B1C1所截得的四邊形DEFG的面積是側(cè)面A1B1BA面積的. |
三角形內(nèi)角平分線定理: 在ΔABC中,的平分線交BC于D, 則. |
在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面BB1GH平分面角A-BB1-C1,則 |
正弦定理: 在ΔABC中,有 |
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,二面角B-AA1-C、C-BB1-A、B-CC1-A所成的二面角分別為、、,則有 |
余弦定理:在ΔABC中,有 |
在三棱柱ABC-A1B1C1中,二面角B-AA1-C、C-BB1-A、B-CC1-A所成的二面角分別為、、,則 |
三角形的面積為 |
在三棱柱ABC-A1B1C1中,棱CC1到側(cè)面A1ABB1的距離為,則三棱柱ABC-A1B1C1的體積為. |
以上性質(zhì)證明的關(guān)鍵是構(gòu)造直截面(與側(cè)棱垂直的截面),轉(zhuǎn)化為平面問題,以正弦定理的拓廣為例,其余的類似證明.
(6)如圖4,在三棱柱ABC-A1B1C1中,二面角B-AA1-C、
C-BB1-A、B-CC1-A所成的二面角分別為、、,
則 ;
證明:作平面DEF與三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱垂直,分別交側(cè)棱AA1,BB1 ,CC1于點(diǎn)D,E,F,則=,,,
在DEF中,根據(jù)正弦定理得,即
而,且,因此.
1.人教A版選修2-2第96頁例1 在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
變式1:在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列,也成等差數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由A,B,C成等差數(shù)列知,,由余弦定理知,
又也成等差數(shù)列,∴,代入上式得,
整理得,∴,從而,而,則,
從而ΔABC為等邊三角形.
變式2:在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為,且成等比數(shù)列,成等差數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由于成等比數(shù)列,則,即 ∴(1)
又成等差數(shù)列,則
則,
由于,∴,即 (2)
將(2)式代入(1)式得:,
∴或(舍去),而,∴ (3)
將(3)代入(1)得:,由于,∴,
因此,從而ΔABC為等邊三角形.
變式3:在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為,且成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由于成等比數(shù)列,則,即 ∴ (1)
又成等比數(shù)列,則,∴,
即 (2)
將(2)代入(1)得:,∴或(舍去)
而,∴ (3)將(3)代入(1)得:,
由于,∴,因此,從而ΔABC為等邊三角形.
變式4:在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為,且成等差數(shù)列,成等差數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由于成等差數(shù)列,則=
∴ (1)
又成等差數(shù)列,則,∴,
由于,∴ (2)
將(1)代入(2)得,∴,而,∴ (3)將(3)代入(2)得:,由于,∴,
因此,從而ΔABC為等邊三角形.
變式5: 在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由于成等差數(shù)列,則=
∴,則 (1)
又成等比數(shù)列,則,∴,
即 (2)
將(1)代入(2)整理得:
即,分解因式得
,∴或(舍去)或(舍去)
而,∴ (3)將(3)代入(2)得:,
由于,∴,因此,從而ΔABC為等邊三角形.
2.人教A版選修2-2第101頁例5:求證是無理數(shù)
變式1:求證是無理數(shù)
證明:假設(shè)是無理數(shù),則存在互質(zhì)的數(shù),使得,從而 ,即,
所以為3的倍數(shù),于是可設(shè),因此,,即,所以也為3的倍數(shù),這與互質(zhì)矛盾,由此可知假設(shè)是錯(cuò)誤的,從而是無理數(shù).
變式2:若為奇數(shù),則是無理數(shù).
證明:假設(shè)是有理數(shù),則存在互質(zhì)的數(shù),使得,則
,∴,∴,∴為偶數(shù),
由于為偶數(shù),說明,與同為偶數(shù)或同為奇數(shù),由于它們的積為偶數(shù),則與同為偶數(shù),設(shè),,從而有
即,∴為偶數(shù),∴為偶數(shù),則也為偶數(shù),這與互質(zhì)矛盾,由此可知假設(shè)是錯(cuò)誤的,從而是無理數(shù).
人教A版選修2-2第106頁例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明 .
變式1:是否存在常數(shù),使得對一切正整數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論.
解:假設(shè)存在常數(shù)使等式成立,令得:解之得,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切正整數(shù)都成立.(略)
變式2:已知,是否存在的整式,使得等式對于大于1的一切正整數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論.
解:假設(shè)存在,
令,求得,令,求得,令,求得,
由此猜想:,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切大于1的正整數(shù)都成立.(略)