21.解:(1)由
整理得 .
又,所以是首項為,公比為的等比數(shù)列,得
(2)方法一:
由(1)可知,故.
那么,
又由(1)知且,故,
因此 為正整數(shù).
方法二:
由(1)可知,
因為,
所以 .
由可得,
即
兩邊開平方得 .
即 為正整數(shù).
全國2文17
設等比數(shù)列的公比,前項和為.已知,求的通項公式.
解:由題設知,
則 ②
由②得,,,
因為,解得或.
當時,代入①得,通項公式;
當時,代入①得,通項公式.
全國1理22
已知數(shù)列中,,.
(Ⅰ)求的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列中,,,
證明:,.
解:(Ⅰ)由題設:
,
.
所以,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,
,
即的通項公式為,.
(Ⅱ)用數(shù)學歸納法證明.
(ⅰ)當時,因,,所以
,結論成立.
(ⅱ)假設當時,結論成立,即,
也即.
當時,
,
又,
所以
.
也就是說,當時,結論成立.
根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)知,.
全國1文21
設是等差數(shù)列,是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,
(Ⅰ)求,的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和.
解:(Ⅰ)設的公差為,的公比為,則依題意有且
解得,.
所以,
.
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
.
遼寧理21
已知數(shù)列,與函數(shù),,滿足條件:
,.
(I)若,,,存在,求的取值范圍;
(II)若函數(shù)為上的增函數(shù),,,,證明對任意,(用表示).
江西理22
設正整數(shù)數(shù)列滿足:,且對于任何,有.
(1)求,;
(3)求數(shù)列的通項.
解:(1)據(jù)條件得 ①
當時,由,即有,
解得.因為為正整數(shù),故.
當時,由,
解得,所以.
(2)方法一:由,,,猜想:.
下面用數(shù)學歸納法證明.
1當,時,由(1)知均成立;
2假設成立,則,則時
由①得
因為時,,所以.
,所以.
又,所以.
故,即時,成立.
由1,2知,對任意,.
(2)方法二:
由,,,猜想:.
下面用數(shù)學歸納法證明.
1當,時,由(1)知均成立;
2假設成立,則,則時
由①得
即 ?、?/p>
由②左式,得,即,因為兩端為整數(shù),
則.于是 ③
又由②右式,.
則.
因為兩端為正整數(shù),則,
所以.
又因時,為正整數(shù),則 ?、?/p>
據(jù)③④,即時,成立.
由1,2知,對任意,.
江西文21
設為等比數(shù)列,,.
(1)求最小的自然數(shù),使;
(2)求和:.
解:(1)由已知條件得,
因為,所以,使成立的最小自然數(shù).
(2)因為,…………①
,…………②
得:
所以.
江蘇理20
已知 是等差數(shù)列,是公比為的等比數(shù)列,,記為數(shù)列的前項和,
(1)若是大于的正整數(shù),求證:;(4分)
(2)若是某一正整數(shù),求證:是整數(shù),且數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項;(8分)
(3)是否存在這樣的正數(shù),使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列?若存在,寫出一個的值,并加以說明;若不存在,請說明理由;(4分)
解:設的公差為,由,知,()
(1)因為,所以,
,
所以
(2),由,
所以解得,或,但,所以,因為是正整數(shù),所以是整數(shù),即是整數(shù),設數(shù)列中任意一項為
,設數(shù)列中的某一項=
現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù),使得,即在方程中有正整數(shù)解即可,,所以
,若,則,那么,當時,因為,只要考慮的情況,因為,所以,因此是正整數(shù),所以是正整數(shù),因此數(shù)列中任意一項為
與數(shù)列的第項相等,從而結論成立。
(3)設數(shù)列中有三項成等差數(shù)列,則有
2設,所以2,令,則,因為,所以,所以,即存在使得中有三項成等差數(shù)列。
湖南理21
已知()是曲線上的點,,是數(shù)列的前項和,且滿足,,….
(I)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;
(II)確定的取值集合,使時,數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列;
(III)證明:當時,弦()的斜率隨單調(diào)遞增
解:(I)當時,由已知得.
因為,所以. …… ①
于是. ……②
由②-①得. …… ③
于是. …… ④
由④-③得, …… ⑤
所以,即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.
(II)由①有,所以.由③有,,所以,.
而 ⑤表明:數(shù)列和分別是以,為首項,6為公差的等差數(shù)列,
所以,,,
數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對任意的成立.
且
.
即所求的取值集合是.
(III)解法一:弦的斜率為
任取,設函數(shù),則
記,則,
當時,,在上為增函數(shù),
當時,,在上為減函數(shù),
所以時,,從而,所以在和上都是增函數(shù).
由(II)知,時,數(shù)列單調(diào)遞增,
取,因為,所以.
取,因為,所以.
所以,即弦的斜率隨單調(diào)遞增.
解法二:設函數(shù),同解法一得,在和上都是增函數(shù),
所以,.
故,即弦的斜率隨單調(diào)遞增.
湖南文20
設是數(shù)列()的前項和,,且,,.
(I)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;
(II)試找出一個奇數(shù),使以18為首項,7為公比的等比數(shù)列()中的所有項都是數(shù)列中的項,并指出是數(shù)列中的第幾項.