1．橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)F到過(guò)頂點(diǎn)A(-a, 0), B(0,b)的直線的距離等于，則橢圓的離心率為( ).

　　 A、　 　　　B、　 　　　C、　 　　　D、

分析:本題條件不易用平面幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化，因而過(guò)A、B的方程為，左焦點(diǎn)F(-c,0)，則，化簡(jiǎn)，得5a²-14ac+8c²=0 得或(舍)，　 ∴ 選A.

小結(jié):應(yīng)熟悉各方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及各參數(shù)之間的關(guān)系和幾何意義.若題面改為“雙曲線(a>b>0)”，則由“a>b>0”這個(gè)隱含條件可知離心率e的范圍限制，即a>b>0,∴ a²>b², ∴a²>c²-a² 從而.

2．若雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為( ).

　　 A、　　　 B、　　　 C、　　 　D、

分析:當(dāng)雙曲線方程為時(shí)，其漸近線為,當(dāng)雙曲線方程為時(shí)，其漸近線為，從而本題對(duì)應(yīng)　或，選D.

3．若表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則它的半焦距的取值范圍是( ).

　　 A、(1，+¥)　 　B、(0，1)　 　C、(1，2) 　　D、與k有關(guān)

分析:首先應(yīng)把方程標(biāo)準(zhǔn)化，方程可化為:

　　

　　 ∴ ，　 ∴ k>2　 c²=a²+b²=k-1+k-2=2k-3>2×2-3=1∴ c>1，選A.

4．拋物線y²-2by+b²+4m-mx=0的準(zhǔn)線與雙曲線的右準(zhǔn)線重合，則m的值為_(kāi)_____.

分析:首先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(y-b)²=m(x-4)

而雙曲線的右準(zhǔn)線為x=3, 拋物線頂點(diǎn)(4，b)在x=3的右側(cè)，

∴ 拋物線開(kāi)口向右，m>0, 2p=m,∴ 焦準(zhǔn)距(焦參數(shù)),∴m=4.

5．以3x-4y-2=0, 3x+4y-10=0為漸近線，以5y+4=0為一條準(zhǔn)線的雙曲線方程為_(kāi)____.

分析:注意兩條漸近線的交點(diǎn)，或一條漸近線和一條對(duì)稱軸的交點(diǎn)都是雙曲線的中心.

　　 ，中心為(2，1)，從而準(zhǔn)線為下準(zhǔn)線，焦點(diǎn)在平行于y軸的直線上，從而，中心與準(zhǔn)線相矩……①,漸近線斜率為……②

　　 聯(lián)立①②，得a=3, b=4, c=5.方程為.

6．若橢圓(a>b>0)與圓相交，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)______.

分析:圓錐曲線間的位置關(guān)系不能用聯(lián)立方程，用判別式判定，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)結(jié)合圖形分析.

　　 由圖可知圓半徑r滿足 b<r<a,

　　 ∴ ,　 解得.

7．若雙曲線與圓x²+y²=1無(wú)公共點(diǎn)則k∈______.分析:同上題用數(shù)形結(jié)合的方法知或.

1．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率，F(xiàn)₁、F₂分別是它的左，右焦點(diǎn)，若過(guò)F₁的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|是|AF₂|與|BF₂|的等差中項(xiàng)，則|AB|為( ).

　　 A、　　　 B、　　 C、　　 D、8

分析:利用雙曲線定義， ∵ AB在左支上，∴|AF₂|-|AF₁|=2a,　 |BF₂|-|BF₁|=2a　 ∴ |AF₂|+|BF₂|-(|AF₁|+|BF₁|)=4a, 又∵ 2|AB|=|AF₂|+|BF₂|, |AF₁|+|BF₁|=|AB|

　∴ 2|AB|-|AB|=4a.　 |AB|=4a,而　 得，　 ∴ ，選A.

2．設(shè)F₁、F₂為橢圓兩焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，則橢圓離心率為( ).

　　 A、　　 　B、　　　 C、　　 D、

分析:P在以F₁F₂為直徑的圓上，則∠F₁PF₂=90°，

　 而∠PF₁F₂=5PF₂F₁，∴ ∠PF₁F₂=75°， ∠PF₂F₁=15°，∴ ，

　　　 ，而|PF₂|+|PF₂|=2a,∴ .

3．F₁、F₂為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，Q為橢圓上任一點(diǎn)，以任一焦點(diǎn)作∠F₁QF₂的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡為( ).

　　 A、圓　　　 B、橢圓　　 C、雙曲線　 D、拋物線

分析:延長(zhǎng)F₂P交F₁Q的延長(zhǎng)線為M，由橢圓定義及角平分線，

　　 ∵ 　　∴ |F₁Q|+|MQ|=|F₁M|=2a,則點(diǎn)M(x₀,y₀)的軌跡方程為......①　 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x, y), ∵ P為F₂M中點(diǎn)，

　∴ ，代入①，得 (2x-c+c)²+(2y)²=4a², ∴ x²+y²=a², 選A.

4．雙曲線的左支上一點(diǎn)P，⊙O'為ΔPF₁F₂的內(nèi)切圓，則圓心O'的橫坐標(biāo)為( ).

　　 A、a　　　　　 B、-a　 　　C、　　　 D、

分析:設(shè)PF₁，PF₂，F(xiàn)₁F₂與內(nèi)切圓⊙O'的切點(diǎn)分別為M，N，Q，由雙曲線定義，

　　 ∵ |PF₂|-|PF₁|=2a,　 ∴ |PN|+|NF₂|-(|PM|+|MF₁|)=2a,

　　 而 |DN|=|PM| ，|MF₁|=|QF₁|, |NF₂|=|QF₂| ∴ |QF₂|-|QF₁|=2a 又 |QF₂|+|QF₁|=2c,∴ |QF₂|=a+c=c-x_Q, ∴ x_Q=-a, ∵O'Q⊥F₁F₂, ∴x_Q'=x_Q=-a， 選B.

1．待定系數(shù)法

例:已知橢圓D:與圓:x²+(y-m)²=9(m∈R)，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切.1)當(dāng)m=5時(shí)，求雙曲線G的方程.

2)當(dāng)m取何值時(shí)，雙曲線的兩條準(zhǔn)線間的距離為1.

解:1)橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁(-5,0),F₂(5,0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c=5.

　　 設(shè)雙曲線G的方程為∴ 漸近線為bx±ay=0且a²+b²=25,

　　 m=5時(shí)，圓心M(0,5), r=3.∴ , 得 a=3, b=4， ∴G方程為.

2)雙曲線兩準(zhǔn)線間距離為， ∴ ，

　　 ∵ G的漸近線與M相切， ∴ ，∴ .

2．相關(guān)點(diǎn)求軌跡法(代入法)

例:設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn)A(0，2)，且以x軸為準(zhǔn)線求拋物線頂點(diǎn)M的軌跡C的方程.

分析:A(0，2)在拋物線上，體現(xiàn)為

①A(0，2)的坐標(biāo)滿足曲線方程

②A(0，2)滿足曲線定義

　　 在本題中以方式②為佳，設(shè)M(x, y)，焦點(diǎn)F(x₀, y₀),

　　 ∵ |AF|=，∴ ，　 ∴ ......①

　　 而，　 ∴ 　代入① ∴ x²+(2y-2)²=4,　 且 y≠0.

3．直接法(直接到方程化簡(jiǎn))

例:設(shè)點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l: x=-p(p>0)上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在線段MO的延長(zhǎng)線上，且滿足|MN|=|MO|.|NO|. 求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程.

解:設(shè)N坐標(biāo)為(x, y)，過(guò)N作NN'⊥x軸于N',

　　 ∵ M，O，N共線，

　　 ∴ ， 由已知 |MN|=|MO|.|NO|

∴ 　

∴ 所求方程為(p²-1)x²+p²y²-2px-p²=0(x>0)

4．直接法(直接利用曲線定義)

例:如圖，直線l₁, l₂相交于M，l₁⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁, 以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若ΔAMN為銳角Δ，， |AN|=3，|BN|=6，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求曲線段C的方程.

分析:以l₁為x軸，以MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖.

由題意，曲線段C是以N為焦點(diǎn)，以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，

其中A、B分別為C的端點(diǎn).

　　 由已知條件，可求方程為y²=8x(1≤x≤4, y>0)(過(guò)程略)

5．交軌法

例:拋物線y²=2px(p>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B在拋物線上，且OA⊥OB，過(guò)O作OP⊥AB交AB于P，求P點(diǎn)軌跡方程.

解:設(shè)OA=y=kx, 則，

　　 　　得　 同理 B(2pk², -2pk)

　　

　　 AB:

　 　　　....①

　　 而op: .....②

　　 ∵ P為AB與OP的交點(diǎn)，聯(lián)立①②　 (1)×(2)消去k,

　　 　y²=-(x-2p)x, ∴ x²+y²-2px=0(x≠0)即為所求.

1．過(guò)點(diǎn)(2，4)作直線與拋物線y²=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有( ).

　　 A、一條　　　 B、兩條　　　 C、三條　　　 D、四條

分析:首先注意點(diǎn)(2，4)在拋物線上，其次只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括直線平行于拋物線的對(duì)稱軸，與拋物線交于一點(diǎn)，因而選B.

2．直線y:kx+1與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( ).

　　 A、m≥1且m≠5　 　B、m≥1　 C、m≠5　　　　　 D、m≤5

分析:直線與橢圓恒有公共點(diǎn)Û聯(lián)立方程Δ恒大于等于0，

　 由Δ≥0恒成立可得 m≥1-5k²恒成立，∴ m≥(1-5k²)_max,　 ∴m≥1且m≠5，選A.

3．直線l: 與曲線x²-y²=1(x>0)相交于A，B兩點(diǎn)，則直線l的傾角為( ).

　　 A、[0，)　 B、　 　C、　D、

分析:直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，不能僅僅用Δ判定，

　 x²-k²(x²-x+2)=1　 (1-k²)x²+k²x-2k²-1=0

　　 ∴ 　　　∴ k>1 或 k<-1. ∴ 傾角，選B.

4．在拋物線y²=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于y=kx+3對(duì)稱，求k范圍.

解:設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，則BC方程為x=-ky+m,代入 y²=4x 得　 y²+4ky-4m=0　 設(shè)B(x, y), C(x₂, y₂),　 BC中點(diǎn)M(x₀, y₀), ∴ ,　 x₀=2k²+m,∵ M(x₀, y₀)在l上，∴ -2k=k(2k²+m)+3　 ∴ ,　 又BC與拋物線交于兩點(diǎn)，∴Δ=16k²+16m>0, 即，　 解得-1<k<0.