高中數(shù)學新題型選編參考答案
參考答案:
1 解析 由題意知A(1,1),B(m,),C(4,2)
直線AC所在方程為x-3y+2=0,
點B到該直線的距離為d=
∵m∈(1,4),∴當時,S△ABC有最大值,此時m=
答案 B
2 解析 考慮式子的幾何意義,轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2上的點與雙曲線xy=9上的點的距離的最小值
答案 C
3 解析 設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),以OA為直徑的圓 x2-ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得x2-ax+b2=0 即e2x2-ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達定理x2=-a,0<x2<a,即0<-a<a<e<1
答案 <e<1
4 解析 由題意可設(shè)拋物線方程為x2=-ay,
當x=時,y=-;當x=0 8時,y=-
由題意知≥3,即a2-12a-2 56≥0 解得a的最小整數(shù)為13
答案 13
5 解析 設(shè)P(t,t2-1),Q(s,s2-1)
∵BP⊥PQ,∴=-1,
即t2+(s-1)t-s+1=0
∵t∈R,∴必須有Δ=(s-1)2+4(s-1)≥0 即s2+2s-3≥0,
解得s≤-3或s≥1
答案 (-∞,-3∪1,+∞)
6 解 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
由,得(1-k2)x2+2kx-2=0,
又∵直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點,
故有
解得-<k<-1
7 解 由拋物線y2=4x,得焦點F(1,0),準線l x=-1
(1)設(shè)P(x,y),則B(2x-1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=e,又設(shè)點B到l的距離為d,則|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x-2)2+(2y)2=2x(2x-2),化簡得P點軌跡方程為y2=x-1(x>1)
(2)設(shè)Q(x,y),則
|MQ|=
(ⅰ)當m-≤1,即m≤時,函數(shù)t=[x-(m-)2]+m-在(1,+∞)上遞增,故t無最小值,亦即|MQ|無最小值
(ⅱ)當m->1,即m>時,函數(shù)t=[x2-(m-)2]+m-在x=m-處有最小值m-,∴|MQ|min=
8 解 (1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸,O為原點,建立平面直角坐標系,
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4
∴曲線C為以原點為中心,A、B為焦點的橢圓
設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1
∴曲線C的方程為+y2=1
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0
Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>
由圖可知=λ
由韋達定理得
將x1=λx2代入得
兩式相除得
①
M在D、N中間,∴λ<1 ②
又∵當k不存在時,顯然λ= (此時直線l與y軸重合)
課前后備注
學法指導 怎樣學好圓錐曲線
圓錐曲線將幾何與代數(shù)進行了完美結(jié)合 借助純代數(shù)的解決手段研究曲線的概念和性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,從數(shù)學家笛卡爾開創(chuàng)了坐標系那天就已經(jīng)開始
高考中它依然是重點,主客觀題必不可少,易、中、難題皆有 為此需要我們做到
1 重點掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì) 這些都是圓錐曲線的基石,高考中的題目都涉及到這些內(nèi)容
2 重視求曲線的方程或曲線的軌跡,此處作為高考解答題的命題對象難度較大 所以要掌握住一般方法 定義法、直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點法、參數(shù)法等
3 加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復習 此處一直為高考的熱點 這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題,因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決 這樣加強了對數(shù)學各種能力的考查
4 重視對數(shù)學思想、方法進行歸納提煉,達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程
(1)方程思想
解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線,因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理,就簡化解題運算量
(2)用好函數(shù)思想方法
對于圓錐曲線上的一些動點,在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量,從而使一些線的長度及a,b,c,e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,函數(shù)思想在處理這類問題時就很有效
(3)掌握坐標法
坐標法是解決有關(guān)圓錐曲線問題的基本方法 近幾年都考查了坐標法,因此要加強坐標法的訓練