1.不等式的解集是 ( D )
A.(-1,3) B.(-3,1)(3,7)
C.(-7,-3) D.(-7,-3)(-1,3)
2.已知a是非0實數(shù),則“a>1”是“”的 ( A )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.在等差數(shù)列中,若,則的值為( C )
A.14 B.15 C.16 D.17
4.在中,,則是 ( C )
A.正三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形
5.函數(shù)的圖象大致是 ( D)
A. B. C. D.
6.已知直線a、b都在平面M外,a、b在平面M內(nèi)的射影分別是直線a1、b1,給出下列四個命題:① ② ③
④其中不正確的命題的個數(shù)是: ( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.函數(shù)的定義域為[a,b],值域為,則b-a的最大值和最小值之和為( B)
A. B. C. D.
8.如果以原點為圓心的圓經(jīng)過雙曲線的焦點,而且被該雙曲線的右準(zhǔn)線分成的弧長為2:1的兩段圓弧,那么該雙曲線的離心率e等于: ( C )
A. B. C. D.
9.已知符號函數(shù),則方程的所有解的和是(D )
A.0 B.2 C. D.
10.已知函數(shù)的反函數(shù),若,則的最小值為( B)
A.1 B. C. D.
11.要從10名女生與5名男生中選取6名學(xué)生組成6名課外興趣味小組,如果按性別分層隨機抽樣,試問組成課外興趣小組的概率是 ( A )
A. B. C. D.
12.實系數(shù)方程的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,則 的取值范圍是 ( A )
A B C D
13.已知直線(a,b不全為0)與圓有公共點,且公共點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù),那么這樣的直線共有 (B )
A.66條 B.72條 C.74條 D.78條
14.某新區(qū)新建有5個住宅小區(qū)(A、B、C、D、E),現(xiàn)要鋪設(shè)連通各小區(qū)的自來水管道,如果它們兩兩之間的線路長如下表:
|
A |
B |
C |
D |
E |
||||||||||||||
A |
|
5 |
7 |
8 |
5 |
||||||||||||||
B |
|
|
3 |
5 |
2 |
||||||||||||||
C |
|
|
|
5 |
4 |
||||||||||||||
D |
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||
E |
|
|
|
|
|
請問:最短的管線長為 ( B ) A.13 B.14 C.15 D.17
15.如果一個點是一個指數(shù)函數(shù)的圖象與一個對數(shù)函數(shù)的圖象的公共點,那么稱這個點為“好點”。在下面的五個點中,“好點”的個數(shù)為(C)
A.0個 B.1個 C. 2個 D.3個
16.某人的密碼箱上的密碼是一種五位數(shù)字號碼,每位上的數(shù)字可在0到9這10個數(shù)字中選取,該人記得箱子的密碼1,3,5位均為0,而忘記了2,4位上的數(shù)字,只要隨意按下2,4位上的數(shù)字,則他按對2,4位上的數(shù)字的概率是 ( D )
A. B. C. D.
17.設(shè)命題P:函數(shù)f(x)= (a>0)在區(qū)間(1, 2)上單調(diào)遞增;命題Q:不等式|x-1|-|x+2|<4a對任意x∈R都成立。若“P或Q”是真命題,“P且Q”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是
(C)
A.<a≤1 B。≤a<1 C.0<a≤或a>1 D。0<a<或a≥1
18.設(shè)二項式的展開式的各項系數(shù)的和為P,所有二項式系數(shù)的和為S,若P+S=272,則n等于 4
19.半徑為2的球內(nèi)接四面體A-BCD,AB、AC、AD兩兩互相垂直,則++的最大值為 8 。
20.雅典奧運會的第三天共產(chǎn)生8枚金牌,分別為中國4枚,美國2枚,日本、希臘各一枚,在奏國歌的先后順序中,奏希臘國歌的前后都是奏中國國歌,美國國歌不連在一起奏的,則這天奏國歌的不同順序____120____種
21.已知函數(shù)f(x)=Acos2(ωx+)(A>0,ω>0)的最大值為3,f(x)的圖象在y軸上的截距為2,其相鄰兩對稱軸間的距離為2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____ 100 ______
22.A、B兩點之間有5條網(wǎng)線并聯(lián),它們能通過的最大信息量分別為1,1,2,3,4,現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使這三條網(wǎng)線通過最大信息量的和大于等于7的方法共有 5
23.對任意兩實數(shù)a、b、,定義運算“*”如下:
的值域為
24.已知函數(shù),若的單調(diào)減區(qū)間是 (0,4),則在曲線的切線中,斜率最小的切線方程是 。
25.有一組數(shù)據(jù):的算術(shù)平均值為10,若去掉其中最大的一個,余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為9;若去掉其中最小的一個,余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為11,第一個數(shù)關(guān)于的表達式是,第個數(shù)關(guān)于的表達式是。
26.如下圖,它滿足:
(1) 第n行首尾兩數(shù)均為n ;
(2)表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角. 則第n行(n≥2)第2個數(shù)是。
27. 若中,a,b,c分別是的對邊,且,
(1) 求;
(2) 若,的面積為,求b+c的值。
解:(1)由得:,
可得:,,。
(2)
,?! ?
28.已知
且(1)求; (2)求
解:(1)由
(2)由
則
由
在時,
矛盾,故舍去.
在可取. 因此
29. 某人拋擲一枚硬幣,出現(xiàn)正反的概率都是,構(gòu)造數(shù)列,使得,記。
(1) 求的概率;
(2) 若前兩次均出現(xiàn)正面,求的概率。
解:(1),需4次中有3次正面1次反面,設(shè)其概率為
則
(2)6次中前兩次均出現(xiàn)正面,要使,則后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。設(shè)其概率為。
30.某食品廠定期購買面粉,已知該廠每天需要面粉6噸,每噸面粉的價格為1800元,面粉的保管與其費用為平均每天3元,購買面粉每次支付運費900元。
(1) 求該廠多少購買一次面粉才能使平均每天支付的總費用最??;
(2) 若提供面粉的公司規(guī)定,當(dāng)一次購買面粉不少210噸時其價格可享受九折惠(即原價的90%)。問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件,請說明理由。
解(1)設(shè)該廠應(yīng)隔x天購買一次面粉,其購買量為6x噸,則面粉的保管與其它費用
,平均每天支出的費用為,則
即每隔10天購買一次才能使平均每天支付的總費用最小。
(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件,則至少35天購買一次面粉,設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件,每隔x天(x) 購買一次面粉,平均每天支出的費用為。
利用單調(diào)性可證在上遞增。
時取得最小值,即,
該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件。
31.已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.
(Ⅰ)求PC與平面PBD所成的角;
(Ⅱ)求點D到平面PAC的距離;
(Ⅲ)在線段PB上是否存在一點E,使PC⊥平面ADE?
若存在,確定E點的位置,若不存在,說明理由.
解: (Ⅰ)設(shè)AC與BD相交于點O,連接PO。
∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD。
又∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC。
∵BD∩PD=D, ∴AC⊥平面PBD。
∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角。
∵PD=AD=2,則OC=,PC=2。
在Rt△POC中,∠POC=90°,
∴
∴PC與平面PBD所成的角為30°
(Ⅱ)過D做DF⊥PO于F,∵AC⊥平面PBD,
DF平面PBD, ∴AC⊥DF。
又∵PO∩AC=O, ∴DF⊥平面PAC。
在Rt△PDO中,∠PDO=90°,
∴PO.DF=PD.DO?! ?∴
(Ⅲ)假設(shè)存在E點,使PC⊥平面ADE.
過E在平面PBC內(nèi)做EM∥PC交BC于點M,
連接AE、AM.
由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC. ∵PC∥EM,∴AD⊥EM.
要使PC⊥平面ADE,即使EM⊥平面ADE. 即使EM⊥AE.
設(shè)BM=,則EM=,EB=. 在△AEB中由余弦定理得AE2=4+3-4
在Rt△ABM中,∠ABM=90°. ∴AM2=4+.
∵EM⊥AE,∴4+=4+3-4+2. ∴-=0. ∵,∴=1.
∴E為PB的中點,即E為PB的中點時,PC⊥平面ADE.
32.如圖,平面PAD平面ABCD,PAD是正三角形,
ABCD是矩形,M是AB的中點,PC與平面ABCD成角。
(1) 求的值;
(2) 求二面角P-MC-D的大??;
(3) 當(dāng)AD的長為多少時,點D到平面PMC的距離為2。
解:(1)取AD中點H,則,面PAD平面ABCD,
面ABCD,PC與面ABCD所成的角為。
設(shè)AD=a,則,,?!?
(2)連結(jié)HM,由∽可得:。
,由三垂線定理得,
是二面角P-MC-D的平面角。
,。
二面角P-MC-D的平面角為
由可得:AD=。
33.曲線有極小值,當(dāng)處有極大值,且在x=1處切線的斜率為.
(1)求;
(2)曲線上是否存在一點P,使得y=的圖象關(guān)于點P中心對稱?若存在,請求出點P坐標(biāo),并給出證明;若不存在,請說明理由.
解:f′(x)=3ax2+2bx+c ∵當(dāng)x=1±時 f(x)有極小值及極大值
∴f′(1±)=0 即1±為3ax2+2bx+c=0兩根
∴b=-3a , c=-6a
又∵f(x)在x=1處切線的斜率為
(2)假設(shè)存在P(x0, y0),使得f(x)的圖象關(guān)于P中心對稱,
則f(x0+x)+f(x0-x)=2y0
即-(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x-(x0-x)3+(x0-x)2+x0-x=2y0
化解得
∵對于任意x∈R等式都成立
∴x0=1, y0=.易知P(1,)在曲線y=f(x)上.
∴曲線上存在P(1,)使得f(x)的圖象關(guān)于中心對稱
34.已知函數(shù),且函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,其圖像在x=3處的切線方程為8x-y-18=0。
(1) 求的解析式;
(2) 是否存在區(qū)間[a,b],使得函數(shù)g(x)的定義域和值域均為[a,b],且解析式與的解析式相同?若存在,求出這樣的一個區(qū)間[a,b];若不存在,請說明理由。
解:(1)的圖像關(guān)于原點對稱,恒成立,即恒成立,。,
又的圖像在x=3處的切線方程為,
即,據(jù)題意得:解得:,
(2)由得x=0或。
又,由得,且當(dāng)或時,,當(dāng)時。
所以,函數(shù)在和上遞增,在上遞減。
于是,函數(shù)在上的極大值和極小值分別為
,而,
故存在這樣的區(qū)間[a,b],其中滿足條件的一個區(qū)間
35.已知一次函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x-y=0對稱的圖像為C,且f(-1)=0,若點(n+1,在曲線C上,并有。
(1) 求曲線C的方程;
(2) 求數(shù)列的通項公式;
(3) 設(shè),若恒成立,求實數(shù)M的取值范圍。
解:(1)設(shè)f(x)=kx+b(k0),則曲線C的方程為。
f(-1)=0,-k+b=0 ①
又點(n+1,在曲線C上,即(2,1)在曲線上。
② 由①②得:k=b=1 C:x-y-1=0。
(2)點(n+1,在曲線C上,,而。
,
(3)。
關(guān)于n單調(diào)增。。
故恒成立,則
36.已知:=(c,0)(c>0),,最小值為1.若動點P同時滿足下列條件①②其中③動點P的軌跡C過點B(0,-1).
(1) 求c的值;
(2) 求曲線C的方程;
(3) 過點M(0,2)的直線與曲線C的軌跡交于A,B兩點,求的取值范圍.
解:(1) ,
當(dāng)時, 的最小值為1,,,.
(2),, 曲線C的方程為.
(3)設(shè)直線的方程為:.(*)
由得:
,又,.
當(dāng)k不存在時, =3,所以.
37.如圖所示,已知A,B為橢圓和雙曲線的公共頂點。P,Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點,且有,設(shè)AP,BP,AQ,BQ的斜率分別為。
(Ⅰ)求證;;
(Ⅱ)設(shè)分別為橢圓和雙曲線的右焦點,
若 PF2∥QF1 ,求的值。
解(Ⅰ):設(shè)點P,Q的坐標(biāo)分別為
則,即
所以
類似地
設(shè)O為原點,則
∵ ∴, ∴三點O,P,Q共線
∴,由①②得
(Ⅱ)證明:因點Q在橢圓上,有
由知
即,從而……③
又點P在雙曲線上,有…………④
由③④解得
因,∴,故
所以
由①得
同理
另一方面
類似地
所以
38.對數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中。對正整數(shù)k,規(guī)定為的k階差分?jǐn)?shù)列,其中。
(1) 若數(shù)列首項,且滿足,求數(shù)列的通項公式;
(2) 對(1)中的數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對一切正整數(shù)都成立?若存在,求數(shù)列的通項公式;若不存在,請說明理由;
(3) 令,設(shè),若恒成立,求最小的正整數(shù)M的值。
解(1)而可得
,,是首項為,公差為的等差數(shù)列,
,
(2)即:
而
=故可得
存在等差數(shù)列,使對一切正整數(shù)都成立。
(3)由(2)知1 ……… ①
……… ②
①-②得:
,遞增 ,且。
滿足條件的最小的正整數(shù)M的值為6
39.過P(1,0)做曲線的切線,切點為Q1,設(shè)Q1在軸上的投影為P1,又過P1做曲線C的切線,切點為Q2,設(shè)Q2在軸上的投影為P2,…,依次下去得到一系列點Q1、Q2、Q3、…、Qn的橫坐標(biāo)為求證:
(Ⅰ)數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ);
(Ⅲ)
解:(Ⅰ)若切點是,
則切線方程為
當(dāng)時,切線過點P(1,0)即得
當(dāng)時,切線過點即得
∴數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列. …6分
(Ⅱ)
(Ⅲ)記,
則
兩式相減
40.已知函數(shù) .
(1)求及的值;
(2)是否存在自然數(shù),使對一切都成立,若存在,求出自然數(shù)的最小值;不存在,說明理由;
(3)利用(2)的結(jié)論來比較和 的大?。?/p>
解(1);.
(2)假設(shè)存在自然數(shù),使對一切都成立.
由,得 ,
當(dāng)時,不等式顯然不成立.
當(dāng)時,,
當(dāng)n=1時,顯然,
當(dāng)時,= 成立,則 對一切都成立.
所以存在最小自然數(shù)。
(3). 由(),所以,,……,,
相乘得 ,∴ 成立.