1.(06年山東)定義集合運算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),z∈A,y∈B},設集合A={0,1},B={2,3},則集合A⊙B的所有元素之和為( )
A.0 B.6 C.12 D.18
2.(06年遼寧卷)設+是R上的一個運算, A是R的非空子集,若對任意有+,則稱A對運算+封閉,下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是( )
A.自然數(shù)集 B.整數(shù)集 C.有理數(shù)集 D.無理數(shù)集
3.(05天津)從集合{1,2,3,…,11}中的任意取兩個元素作為橢圓方程中的和,則能組成落在矩形區(qū)域內的橢圓的個數(shù)是( )
A. 43 B. 72 C. 86 D. 90
4.(05福建)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),且,則方程=0在區(qū)間(0,6)內解的個數(shù)的最小值是 ( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5.(06上海卷)如果一條直線與一個平面垂直,那么,稱此直線與平面構成一個“正交線面對”。在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是( )
A.48 B. 18 C. 24 D.36
6.點P到點A(,0),B(,2)及到直線x=-的距離都相等,如果這樣的點恰好只有一個,那么a的值是 ( ) A. B. C.或 D.-或 7.如果二次方程 x2-px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么這樣的二次方程有( ) A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個 8. 設四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形, 用平面α去截此四棱錐(如右圖), 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面 α ( ) A. 不存在 B. 只有1個
C. 恰有4個 D. 有無數(shù)多個 9。(05全國Ⅲ)計算機中常用的十六進制是逢16進1的記數(shù)制,采用數(shù)字0-9和字母A-F共16個記數(shù)符號;這些符號與十進制的數(shù)的對應關系如下表:
十六進制 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
十進制 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
例如,用十六進制表示:E+D=1B,則( )
A .6E B. 72 C .5F D. B0
10.設P是△ABC內任意一點,S△ABC表示△ABC的面積,λ1=, λ2=,
λ3=,定義f(P)=(λ1, λ, λ3),若G是△ABC的重心,f(Q)=(,,),則 ( )
A. 點Q在△GAB內 B. 點Q在△GBC內
C. 點Q在△GCA內 D. 點Q與點G重合
11.在平面幾何中有如下特性:從角的頂點出發(fā)的一條射線上任意一點到角兩邊的距離之比為定值。類比上述性質,請敘述在立體幾何中相應地特性,并畫出圖形。不必證明。
類比性質敘述如下 :________________
12.規(guī)定記號“”表示一種運算,即. 若,則函數(shù)的值域是________.
13.一個正整數(shù)數(shù)表如下(表中下一行中的數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍):
第1行 |
1 |
第2行 |
2 3 |
第3行 |
4 5 6
7 |
… |
… |
則第9行中的第4個數(shù)是________
A.132 B.255 C.259 D.260
14.某保險公司新開設了一項保險業(yè)務,若在一年內事件E發(fā)生,該公司要賠償a元.設在一年內E發(fā)生的概率為p,為使公司收益的期望值等于a的百分之十,公司應要求顧客交保險金為_________________
15.(05年湖南)設函數(shù)f (x)的圖象與直線x =a,x =b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的面積,已知函數(shù)y=sinnx在[0,]上的面積為(n∈N*),(i)y=sin3x在[0,]上的面積為 ;(ii)y=sin(3x-π)+1在[,]上的面積為 .
16.(06年安徽卷)多面體上,位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的,如圖,正方體的一個頂點A在平面內,其余頂點在的同側,正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1,2和4,P是正方體的其余四個頂點中的一個,則P到平面的距離可能是:①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7
以上結論正確的為______________。(寫出所有正確結論的編號)
(17).(本題滿分10分)(05年全國Ⅰ)設函數(shù)。y=f(x)圖像的一條對稱軸是直線. (Ⅰ)求;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調增區(qū)間;
(Ⅲ)證明直線于函數(shù)的圖像不相切.
18.(本題12分)某人玩硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是.棋盤上標有第0站、第1站、第2站、……、第100站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動一次,若擲出正面,棋子向前跳一站;若擲出反面,則棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時,該游戲結束.設棋子跳到第n站的概率為.
(I)求P0,Pl,P2;(II)求證:
(Ⅲ)求玩該游戲獲勝的概率.
19.(本題12分)(05年北京)如圖,直線l1:與直線l2:之間的陰影區(qū)域(不含邊界)記為W,其左半部分記為W1,右半部分記為W2.
(Ⅰ)分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2;
(Ⅱ)若區(qū)域W中的動點P(x,y)到l1,l2的距離之積等于d2,求點P的軌跡C的方程;
(Ⅲ)設不過原點O的直線l與(Ⅱ)中的曲線C相交于M1,M2兩點,且與l1,l2分別交于M3,M4兩點. 求證△OM1M2的重心與△OM3M4的重心重合.
20.(本題12分)設軸、軸正方向上的單位向量分別是、,坐標平面上點、分別滿足下列兩個條件:①且=+;②且=。(Ⅰ)求及的坐標;
(Ⅱ)若四邊形的面積是,求的表達式;
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的,是否存在最小的自然數(shù)M,對一切都有<M成立?若存在,求M;若不存在,說明理由.
高考數(shù)學題型訓練四 創(chuàng)新題型參考答案
參考答案:
一、選擇題(每題3分,共30分) 1.D 提示:當x=0時,z=0,當x=1,y=2時,z=6,當x=1,y=3時,z=12,故所有元素之和為18,選D
2.C 提示: A中1-2=-1不是自然數(shù),即自然數(shù)集不滿足條件;B中12=0.5不是整數(shù),即整數(shù)集不滿足條件;C中有理數(shù)集滿足條件;D中不是無理數(shù),即無理數(shù)集不滿足條件,故選擇答案C。
3.B 提示:根據(jù)題意,是不大于10的正整數(shù)、是不大于8的正整數(shù)。但是當時是圓而不是橢圓。先確定,有8種可能,對每一個確定的,有種可能。故滿足條件的橢圓有個。選B
4.D 提示:由題意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在區(qū)間(0,6)內f(x)=0的解的個數(shù)的最小值是5,選(D)
5.D 提示:正方體中,一個面有四條棱與之垂直,六個面,共構成24個“正交線面對”;而正方體的六個對角截面中,每個對角面又有兩條面對角線與之垂直,共構成12個“正交線面對”,所以共有36個“正交線面對”;選D。
6.D 提示:(思路一)點P在拋物線y2=2x上,設P(,y),則有(+)2=(-)2+(y-2)2,化簡得(-)y2-4y+2+=0, 當=時, 符合題意; 當a≠時,∆=0,有-++=0,( +)(2-+)=0, =-。選D. (思路二) 由題意有點P在拋物線y2=2x上,B在直線y=2上,當a=-時,B為直線y=2與準線的交點,符合題意;當a=時,B為直線y=2與拋物線通徑的交點,也符合題意,故選D.答案:D 7.C 提示:由 △=p2+4q>0,-q<0, 知方程的根為一正一負.設 f(x)=x2-px-q,則 f(3)=32-3p-q>0, 即 3p+q<9.由于p,q∈N*,所以 p=1,q≤5 或p=2,q≤2. 于是共有7組(p,q)符合題意.故選C. 8.D 提示:設四棱錐的兩組不相鄰的側面的交線為 m、n, 直線 m、n 確定了一個平面 β.作與 β 平行的平面 α, 與四棱錐的各個側面相截,則截得的四邊形必為平行四邊形.而這樣的平面 α 有無數(shù)多個.故選D. 答案:D 9。A 提示:∵A=10,B=11,又A×B=10×11=110=16×6+14,∴在16進制中A×B=6E,∴選(A)
10.A 提示:由題f(p)=若G為.
而與之比較知。。故選A。
二、填空題
11.(下列答案中任一即可,答案不唯一)
(1)從二面角的棱出發(fā)的一個半平面內任意一點到二面角的兩個面的的距離之比為定值。
(2)從二面角的棱上一點出發(fā)的一條射線上任意一點到二面角的兩個面的的距離之比為定值。
(3)在空間,從角的頂點出發(fā)的一條射線上任意一點到角兩邊的距離之比為定值。
(4)在空間,射線上任意一點到射線、、的距離之比不變。
(5)在空間,射線上任意一點到平面、、的距離之比不變。
12. 提示:由得,解得k=1,所以f(x)=,f(x)在(0,+∞)內是增函數(shù),故f(x)>1,即f(x)的值域為
13.259 提示:第1行第1個數(shù)為1=,第2行第1個數(shù)為2=,第3行第1個數(shù)為4=,…,第9行第1個數(shù)為=256,所以第9行第4個數(shù)為256+3=259。
14.(0.1+p)a 提示:設保險公司要求顧客交x元保險金,若以x表示公司每年的收益額,則x是一個隨機變量,其分布列為:
x |
x |
x-a |
P |
1-p |
p |
因此,公司每年收益的期望值為Ex=x(1-p)+(x-a).p=x-ap.
為使公司收益的期望值等于a的百分之十,
只需Ex=0.1a,即x-ap=0.1a, 故可得x=(0.1+p)a.
即顧客交的保險金為(0.1+p)a時,可使公司期望獲益10%a.
15. 提示:由題意得:y=sin3x在上的面積為,在上的圖象為一個半周期結合圖象分析其面積為。
16.①③④⑤ 提示:如圖,B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4,則D、A1的中點到平面的距離為3,所以D1到平面的距離為6;B、A1的中點到平面的距離為,所以B1到平面的距離為5;則D、B的中點到平面的距離為,所以C到平面的距離為3;C、A1的中點到平面的距離為,所以C1到平面的距離為7;而P為C、C1、B1、D1中的一點,所以選①③④⑤。
三、解答題
(17)。(Ⅰ)解:∵是函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸,∴,∴,∵,∴。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,因此。由題意得,所以函數(shù)的單調增區(qū)間為。
(Ⅲ)證明:∵||=|(|=||≤2
所以曲線y=f(x)的切線的斜率取值范圍是[-2,2],而直線5x-2y+c=0的斜率為>2,所以直線5x-2y+c=0與函數(shù)的圖象不相切。
18.解:(I)依題意,得 P0=1,P1=,.
(II)依題意,棋子跳到第n站(2≤n≤99)有兩種可能:第一種,棋子先到第n-2站,又擲出反面,其概率為;第二種,棋子先到第n-1站,又擲出正面,其概率為
∴
∴
即
(III)由(II)可知數(shù)列{}(1≤n≤99)是首項為公比為的等比數(shù)列,
于是有
=
因此,玩該游戲獲勝的概率為.
19.解:(I)
(II)直線直線,由題意得
即
由知
所以即
所以動點P的軌跡方程為
(III)當直線與軸垂直時,可設直線的方程為由于直線、曲線C關于軸對稱,
且與關于軸對稱,于是的中點坐標都為,所以
的重心坐標都為,即它們的重心重合.
當直線與軸不垂直時,設直線的方程為
由,得
由直線 與曲線C有兩個不同交點,可知,且
設的坐標分別為
則
設的坐標分別為
由
從而
所以
所以
于是的重心與的重心也重合.
20.解答:
(Ⅰ)
.
(Ⅱ)
,
(Ⅲ)
∴ ,,。,
,,等
即在數(shù)列中,是數(shù)列的最大項,所以存在最小的自然數(shù),對一切都有<M成立.