直線的傾斜角和斜率、直線的方程
1. 重點(diǎn):
直線的傾斜角和斜率的概念、直線方程的幾種重要形式。
2. 難點(diǎn):
斜率的概念的學(xué)習(xí),過(guò)兩點(diǎn)直線的斜率公式的建立,直線方程的應(yīng)用。
[典型例題]
[例1](1)已知M(,3),N(2,15)若直線的傾斜角是MN的一半,求的斜率
解:
設(shè)的傾斜角為
∴ ∴
∵ ∴
(2)過(guò)P(,)的直線與軸的正半軸沒(méi)有公共點(diǎn),求的傾斜角的范圍。
解: ∴ ∴
(3)若直線的斜率則直線的傾斜角的取值范圍是什么?
解:∵ ∴
[例2] 過(guò)點(diǎn)P(1,4)作直線與兩坐標(biāo)軸正向相交,當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時(shí),求直線方程。
解:設(shè)(,)
∵ 過(guò)P(1,4) ∴
∴
當(dāng) ∴ 時(shí),
∴ 即
[例3] 在中,A(2,8),B(,0),C(5,0)求過(guò)B且將面積分成的直線方程。
解:設(shè)交AC于P點(diǎn),則(1);(2)
(1)當(dāng)時(shí),P(,)滿足
∴ : 即
(2)當(dāng)時(shí),P(x,y)滿足
∴ : 即
[例4] 設(shè)P1(x1,y1),P2(,):,求與直線的交點(diǎn)P(不過(guò)P2)分的比。
解:設(shè)P分的比為,則P(,)
∵ ∴
∴
∵ ∴
當(dāng)時(shí),P1,P2在同側(cè) 當(dāng)時(shí),P1,P2在異側(cè)
[例5] 過(guò)點(diǎn)(,)作一直線,使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5個(gè)平方單位,求直線的方程。
解:設(shè)直線的方程為
∵ 過(guò)點(diǎn)(,) ∴ 即
又直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形面積為5
∴ 則
∴ ∴ 或
∴ 的方程為:或
[例6] 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(,)且在坐標(biāo)軸上截距為相反數(shù)的直線的方程。
解:
(1)當(dāng)在坐標(biāo)軸上截距都不為零時(shí),設(shè)方程為
將A(,)代入上式有,解得
∴ 所求直線方程為
(2)當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距都為零時(shí),設(shè)其方程為
將A(,)代入方程得,即 ∴
即
[例7] 已知的一個(gè)頂點(diǎn)A(,2)兩條中線所在直線方程為和,求各邊所在直線的方程。
解:∵ A(,2)不在這兩條中線上
∴ 這兩條中線應(yīng)是邊AB和AC上的中線
解得 ∴ 的重心G(,2)
設(shè)B(,)C(,) 則
∴
不妨設(shè)B在中線上,點(diǎn)C在中線上
∴ 聯(lián)立(1)(2)(3)(4)解得
即B(2,4)C(4,0)
∴ AB邊所在直線方程為即
AC邊所在直線方程為即
BC邊所在直線方程為即
若調(diào)換B、C的位置,則BC邊所在直線的方程不變,AB與AC的方程互換
[例8] 過(guò)定點(diǎn)P(2,1)作直線,分別與軸、軸正向交于A、B兩點(diǎn),求使面積最小時(shí)的直線方程。
解:顯然所求的斜率存在且小于0,設(shè)其為()則為
令得A(,0)令得B(0,)
∴
其中,
當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí),的最小值為4
此時(shí)的最小值為
∴ 所求直線方程為即
[模擬試題](答題時(shí)間:60分鐘)
1. 已知直線的傾斜角為,則直線的斜率是( )
A. B. C. D.
2. 已知的斜率,那么的傾斜角為( )
A. B. C. D.
3. 直線的傾斜角的正弦值為,則的斜率是( )
A. B. C. D.
4. 若直線過(guò)(,9),(,)兩點(diǎn),則的傾斜角為( )
A. B. C. D.
5. 已知A(,),B(3,0)且AB的斜率為,則的值是( )
A. 1 B. C. D. 0
6. 直線的傾斜角為,且,則的斜率的范圍是( )
A. B.
C. 或 D. 或
7. 已知一直線傾斜角為,且直線過(guò)(,)則直線方程為( )
A. B.
C. D.
8. 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(,1),(3,9)的直線在軸上的截距是( )
A. B. C. D. 2
1. 經(jīng)過(guò)二、三、四象限,的傾斜角為,斜率為,則的取值范圍是 。
2. 在軸上的截距為,且與軸相交成角的直線方程為 。
3. 若方程表示一條直線,則 。
4. 已知直線在軸上的截距為3,則在軸上的截距為 。
1. 過(guò)P(,)的直線與軸,軸分別交于A、B兩點(diǎn),若P恰為線段AB的中點(diǎn),求直線的斜率和傾斜角。
2. 已知與的傾斜角相等,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24,求的方程。
3. 過(guò)點(diǎn)P(4,2)作分別交軸,軸正半軸于A、B兩點(diǎn),當(dāng)面積最小時(shí),求直線的方程。
直線的傾斜角和斜率、直線的方程參考答案
[試題答案]
一.
1. B 2. D 3. C 4. B 5. B 6. C 7. A 8. A
二.
1.(,) 2. 3. 4.
三.
1.
解:設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,0)和(0,)
∵ 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,)
∴ 即 ∴
傾斜角為
2.
解:直線的斜率為
∵ 與的傾斜角相等
∴ 的斜率為
設(shè)的方程為,的橫截矩為
∵ 與兩坐標(biāo)軸圍成三角形面積為24
∴ 即 ∴ :
3.
解:設(shè)的方程為(,)
∵ 在上 ∴ ∵
當(dāng)時(shí),取“=” ∴ ,時(shí),最小
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