(1)空間幾何體
?、?認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).
② 能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖,能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型,會(huì)用斜二測(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖.
?、?會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法,畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式.
?、?會(huì)畫(huà)某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).
?、?了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式).
注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖,且會(huì)把三視圖、直觀圖還原成空間圖形。例如07年廣東高考文科第17題:
(2)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
?、?理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.
◆公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).
◆公理2:過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.
◆公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.
◆公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
◆定理:空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
② 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.
理解以下判定定理.
◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.
◆如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面平行.
◆如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直.
◆如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直.
理解以下性質(zhì)定理,并能夠證明.
◆如果一條直線與一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面相交,那么這條直線就和交線平行.
◆如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線相互平行.
◆垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
◆如果兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.
?、?能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
注重線面關(guān)系(線線平行、線面平行、面面平行之間的轉(zhuǎn)移;線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)移;還有平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)移)。例如07年廣東高考文科第6題:
再如06年北京高考題:如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,,平面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
解:(1)由平面可得PA^AC
又,所以AC^平面PAB,所以
(2)如圖,連BD交AC于點(diǎn)O,連EO,則
EO是△PDB的中位線,\EOPB
\PB平面
07考綱(新)對(duì)知識(shí)的要求依次是了解、理解、掌握三個(gè)層次.
(1)了解:要求對(duì)所列知識(shí)的含義有初步的、感性的認(rèn)識(shí),知道這一知識(shí)內(nèi)容是什么,按照一定的程序和步驟照樣模仿,并能(或會(huì))在有關(guān)的問(wèn)題中識(shí)別和認(rèn)識(shí)它.
這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有:了解,知道、識(shí)別,模仿,會(huì)求、會(huì)解等.
(2)理解:要求對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識(shí),知道知識(shí)間的邏輯關(guān)系,能夠?qū)λ兄R(shí)作正確的描述說(shuō)明并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá),能夠利用所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容對(duì)有關(guān)問(wèn)題作比較、判別、討論,具備利用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力.
這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有:描述,說(shuō)明,表達(dá),推測(cè)、想像,比較、判別,初步應(yīng)用等.
(3)掌握:要求能夠?qū)λ械闹R(shí)內(nèi)容推導(dǎo)證明,能夠利用所學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題能夠進(jìn)行分析、研究、討論,并且加以解決.
這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有:掌握、導(dǎo)出、分析,推導(dǎo)、證明,研究、討論、運(yùn)用、解決問(wèn)題等.
新舊《考綱》的對(duì)比如下:
編號(hào) |
07考綱(新) |
06考綱(舊) |
1 |
認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征. |
掌握棱柱的性質(zhì),掌握正棱錐的性質(zhì),掌握球的性質(zhì),掌握球的表面積、體積公式. |
2 |
理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理. |
掌握平面的基本性質(zhì),能夠畫(huà)出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形,能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系. |
3 |
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掌握三垂線定理及其逆定理. |
4 |
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掌握兩條直線所成的角和距離的概念,對(duì)于異面直線的距離,只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離. |
5 |
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掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念. |
6 |
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掌握二面角、二面角的平面角、兩平行平面間的距離的概念. |
7 |
能夠畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖,能夠識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型. |
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8 |
會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法,畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖. |
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此外,整個(gè)空間向量部分內(nèi)容新《考綱》已不作要求.
1、地位:兵家必爭(zhēng)
雖然近年來(lái)立體幾何試題在命題思路和方法上不時(shí)有些出人意外之處,但總體上還是保持了穩(wěn)定,所以復(fù)習(xí)備考工作有章可循,有法可依。特別是立體幾何試題難度中等,大題分步設(shè)問(wèn),層次分明,使得不同層次的學(xué)生都可得到一定的分?jǐn)?shù),因而立體幾何成為歷年數(shù)學(xué)高考中的“兵家必爭(zhēng)之地”。
(一)選擇題
1.下列命題中正確的是( )
A.一條直線與一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合
C.三條直線兩兩相交,則這三條直線共面
D.若線段AB在平面內(nèi),則線段AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)C也在平面內(nèi)
2.空間三條直線,且,與相交,則與( )
A.相交 B.平行 C.異面 D.異面或相交
3.在空間四邊形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),則四邊形EFGH是( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
4.兩條異面直線所成的角的范圍是( )
A. B. C. D.
5.平行于棱錐底面的平面把棱錐的高分成的兩部分(自上而下),則截面與棱錐底面的面積之比是( )
A. B. C. D.
6.下列命題中,正確的個(gè)數(shù)是( )
①平行于同一條直線的兩直線平行
②平行于同一個(gè)平面的兩直線平行
③垂直于同一條直線的兩直線平行
④垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行
⑤平行于同一條直線的兩平面平行
⑥平行于同一個(gè)平面的兩平面平行
A.1 B.2 C.3 D.4
7.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體
的表面積為( )
A.64+16 B.64+32 C.80+16 D.80+32
8.一個(gè)底面直徑是32cm的圓柱形水箱裝入水,
然后放入一個(gè)鐵球,該球被水淹沒(méi),水面升高9cm,則球的表面積是( )
A.144 B.288 C.576 D.2304
9.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,面AC且PA=1,則P到對(duì)角線BD的距離是( )
A. B. C. D.
10.從水平放置的球體容器的頂部的一個(gè)孔向球內(nèi)以相同的速度注水,容器中水面的高度與注水時(shí)間t之間的關(guān)系用圖象表示應(yīng)為( )
(二)填空題
11.若,則直線與AB的位置關(guān)系是 .
12.在空間四邊形ABCD中,E、F分別是BD、AC的中點(diǎn),且BC=AD=2EF,則EF與AD所成的角等于 .
13.三棱錐P-ABC中,若棱PA=x,其余各棱長(zhǎng)均為1,則x的范圍是__________;
三棱錐P-ABC的體積的最大值為_(kāi)_________.
14.下圖中,不是正四面體的表面展開(kāi)圖的是____ ___.
(三)解答題
15.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,且這個(gè)圓錐的體積為.求圓錐的表面積.
16.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,E、F分別是PB和AC的中點(diǎn),
求證:①EF//平面PAD;②;
17.已知三棱錐P-ABC中,PC⊥底面ABC,
AB=BC,D、F分別為AC、PC的中點(diǎn),DE⊥AP于E.
(1)求證:AP⊥平面BDE;
(2)求證:平面BDE⊥平面BDF;
(3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱錐P-ABC
所成兩部分的體積比.
*18.如圖,甲、乙是邊長(zhǎng)為4a的兩塊正方形鋼
板,現(xiàn)要將甲裁剪焊接成一個(gè)正四棱柱,將乙裁剪焊接成一個(gè)正四棱錐,使它們的全面積都等于一個(gè)正方形的面積(不計(jì)焊接縫的面積)。
(1)將你的裁剪方法用虛線標(biāo)示在圖中,并作簡(jiǎn)要說(shuō)明;
(2)試比較你所制作的正四棱柱與正四棱錐體積的大小,并證明你的結(jié)論。
《立體幾何》(文科)高考備考建議 東莞中學(xué)數(shù)學(xué)科 吳強(qiáng)參考答案
配套練習(xí)參考答案
(一)選擇題1――10 DDCCC CACBA
(二)填空題 11.異面 12. 13.; 14.④⑥
(三)解答題
15. 16.略 17.(3)1∶2
18.解:(1)將正方形甲按圖中虛線剪開(kāi),以兩個(gè)正方形為底面,四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面,焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2a,高為a的正四棱柱。
將正方形乙按圖中虛線剪開(kāi),以兩個(gè)長(zhǎng)方形焊接成邊長(zhǎng)為2a的正方形為底面,三個(gè)等腰三角形為側(cè)面,兩個(gè)直角三角形合拼成為一側(cè)面,焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2a,斜高為3a的正四棱錐。
(2)∵正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2a,高為a, ∴其體積。
又∵正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為,∴其體積。
∵, 即,∴
故所制作的正四棱柱的體積比正四棱錐的體積大。
(說(shuō)明:裁剪方式不惟一,計(jì)算的體積也不一定相等)
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