1.函數(shù)y=2sin(2x+)+1的最小正周期是( )
A. B. C. π D. 2π
2.在復(fù)平面內(nèi), 復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=log2x 的圖象關(guān)于直線x=0 對(duì)稱, 則( )
A. f(x)=-2x B. f(x)=2x C. f(x)=log2(-x) D. f(x)=-log2x
4.設(shè)α、β是兩個(gè)不同平面, m,n是兩條不同的直線, 則下列命題正確的是( )
A. 若m∥n , 且 m⊥α, n⊥β, 則α∥β B. 若mÌα, nÌβ, 且α∥β, 則m∥n
B.若m、nÌα, 且m∥β, n∥β, 則α∥β D.若α⊥β, mÌα, nÌβ, 則m⊥n
5.已知向量=(, ), 向量= (, - ) , 曲線.=1上一點(diǎn)P到F(3,0)的距離為6, Q為PF的中點(diǎn), O為坐標(biāo)原點(diǎn), 則|OQ| =( )
A. 1 B.2 C.5 D. 1或5
6.已知無(wú)窮數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列, 則有( )
A. < B. ≤ C. > D. ≥
7. 若(x-)6的展開(kāi)式中的第五項(xiàng)等于 , 則n→∞lim( + + + … + )= ( )
A. 1 B. C. D.
8.設(shè)f(x)=cosx-sinx把f(x)的圖象按向量=(m,0) (m>0)平移后, 圖象恰好為函數(shù)y=-f '(x)的圖象, 則m 的值可以為( )
A. B. C. D. π
9.拋物線y2=ax(a≠0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)P , 直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P, 且與拋物線有公共點(diǎn),則直線l 的傾斜角的取值范圍是( )
A. [0, ] B. [0, ]∪[,π) C. [,] D. [,]∪(,]
10.正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a, 側(cè)棱與底面成角為60°, 過(guò)底面一邊作一截面使其與底面成30°的二面角, 則此截面的面積為( )
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
11.定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足: f(-x)=-f(x), f(1+x)=f(1-x), 當(dāng)x∈[-1,1]時(shí), f(x)=x3,則f(2007)的值是( )
A. -1 B.0 C. 1 D. 2
12. 對(duì)于任意的x∈R, 不等式 2x2-a+3>0恒成立, 則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是( )
A. a<2 B. a≤2 C. a<3 D. a≤3
第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分)
13.函數(shù)y=ex+1的反函數(shù)是_________
14. 已知平面區(qū)域D是由以A(1,3),B(2,0), C(3,1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成, 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0) 在區(qū)域D內(nèi)僅在點(diǎn)(2,0)處取 得最小值, 則a的取值范圍為_(kāi)______
15. 一名同學(xué)想要報(bào)考某大學(xué), 他必須從該校的7個(gè)不同專業(yè)中選出5個(gè), 并按第一志愿, 第二志愿, …, 第五志愿的順序填進(jìn)志愿表, 若A 專業(yè)不能作為第一, 第二志愿, 則他共有______種不同的填法( 用數(shù)字作答)
16. 下列四個(gè)命題: ①圓(x+2)2+(x+1)2=4 與直線x-2y=0相交, 所得弦長(zhǎng)為2;
②直線y=kx 與圓 (x-cosθ)2+(y-sinθ)2=1恒有公共點(diǎn);
③ 若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上, 則該球的的表面積為108π.
④若棱長(zhǎng)為的正四面體的頂點(diǎn)都在同一球面上, 則該球的體積為π.
其中, 下確命題的序號(hào)為_(kāi)________(寫出所有正確命題的序號(hào))
17.(本小題滿分12分)
已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A, B,C 所對(duì)的邊分別是a,b,c, 向量 = (1,1-sinA) ,
=(cosA, 1) 且⊥.
(1) 求角A; (2) 若b+c= a , 求sin(B+)的值.
18. (本小題滿分12分)
在一次語(yǔ)文測(cè)試中, 有道把我國(guó)四大文學(xué)名著《水滸傳》、《三國(guó)演度》、《西游記》、《紅樓夢(mèng)》與它們的作者連線的題目, 每連對(duì)一個(gè)得3分, 連錯(cuò)不得分, 一位同學(xué)該題得ξ分.
(1)求該同學(xué)得分不少于6分的概率;
(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
19. (本小題滿分12分)
如圖正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)為a, 側(cè)棱長(zhǎng)為a, 若經(jīng)過(guò)AB1且與BC1平行的平面交上底面于D點(diǎn).
(1)試確定點(diǎn)D的位置, 并證明你的結(jié)論;
(2)求二面角A1-AB1-D的大小
20.( 本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)= , 數(shù)列{an}滿足a1=1, an+1=f(an) (n∈N*)
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn= anan+1.3n, Sn=b1+b2+…+bn, 求Sn .
21. ( 本小題滿分12分)
橢圓C 中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O , 焦點(diǎn)在y軸上, 焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離以及離心率均為, 直線l 與y軸交于點(diǎn)P(0,m) 與橢圓O交于相異兩點(diǎn)A、B, 且=λ.
(1)求橢圓方程;
(2)若+λ =4, 求m 的取值范圍.
22. ( 本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=ax-x (a>1)
(1) 求函數(shù)f(x)的最小值, 并求最小值小于0時(shí)a的取值范圍.
(2)令S(n)=Cn1f '(1)+Cn2f '(2)+ … +Cnn-1f '(n-1),
第Ⅰ卷 (選擇題 共60分)參考答案
證明: S(n)>(2n-2).f '()
參考答案
1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.B 9.B 10.D 11.A 12.C
13. y=lnx-1(x>0) 14. (0,3) 15. 1800 16. ②④
17.解: (1) ∵⊥, ∴.=0, ∴cosA+1-sinA=0 sinA-cosA=1,
sin(A-)= . ∵0<A<π, ∴-< A-<, ∴A- = , ∴A=
(2) ∵b+c= a, ∴由正弦定理得: sinB+sinC= sinA =
∵B+C= , ∴sinB+sin(-B)= , cosB+sinB=
即 sin(B+) =
18.解: (1)ξ的可能取值為0, 3, 6, 12 P(ξ=12)= = , P(ξ= 6) = = =
該同學(xué)得分不少于6分的概率為P=P(ξ= 6) + P(ξ=12) =
(2)P(ξ=3)= = , P(ξ=0)=1- - - =
ξ |
0 |
3 |
6 |
12 |
P |
|
|
|
|
ξ的分布列為:
數(shù)學(xué)期望:Eξ=0× + 3× + 6× + 12× =3
19. 解: (1) D為A1C1的中點(diǎn), (D也可以是△A1B1C1的邊A1C1中線上任一點(diǎn)).連結(jié)A1B與AB1交于E. 則E為A1B的中點(diǎn), DE為平面ABB1A1D與平面A1BC1的交線,
∵BC1∥平面AB1D, ∴BC1∥DE, ∴D為為A1C1的中點(diǎn)
(2)過(guò)D作DF⊥A1B于F, 由正三棱柱的性質(zhì), AA1⊥DF, ∴DF⊥平面ABB1, 連結(jié)EF, DE, 在正三角形A1B1C1中, ∵D是A1C1的中點(diǎn), ∴B1D= A1B1= a, 又在直角三角形AA1D中, ∵AD= = a , ∴AD=B1D, ∴DE⊥AB1, ∴可得EF⊥AB1, 則∠DEF為二面角A1-AB1-D的平面角. 可求得DF= a ∵△B1FE∽ △B1AA1, 得EF=a
∴ ∠DEF= , 即為所求.
20. 解: (1) 由已知: an+1= , ∴ = +1, ∴ + = 3( + ), 并且
+ = ∴數(shù)列{ + }為以為首項(xiàng), 3為公比的等比數(shù)列
∴ + = .3n-1, ∴ an=
(2)bn= = -
∴Sn= b1+b2+…+bn = - + - + …+ -
= -
21.解: (1) 設(shè)+ = 1 (a>b>0), 設(shè)c>0, c2=a2-b2, 由條件知: -c = = ,
∴a=1, b=c= 故C的方程為: y2+ =1
(2) 由=λ 得- =λ(-) ∴(1+λ) = + λ
∴ 1+λ =4 , λ=3, 設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)
得 (k+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
△= (2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*)
x1+x2= , x1x2= ∵=3 ∴-x1=3x2, ∴ x1+x2=-2x2, x1x2=-3x22,再消去x2, 得3(x1+x2)2+4x1x2=0 , ∴3()2+4=0 整理得4k2m2+2m2-k2-2=0
m2= 時(shí), 上式不成立, m2≠ 時(shí), k2= 由(*)式得k2>2m2-2 因λ=3, ∴k≠0,
∴k2= >0, ∴-1<m<-, 或<m<1
即所求m的取值范圍為(-1,-)∪( , 1)
22.(1) 由f '(x)=axlna-1 f '(x)>0 即: axlna>1, ∴ax> , 又a>1, ∴x>-logalna
同理: f '(x) <0, 有x<-logalna 所以f '(x)在(-∞, -logalna)上遞減, 在(-logalna, +∞)
上遞增, 所以f(x)max=f(-logalna) = , 若f(x)max<0, 即 <0, 則
ln(lna)<-1, ∴l(xiāng)na< ∴ a 的取值范圍是 1<a<
(2) S(n)=Cn1(alna-1)+Cn2(a2lna-1)+ … +Cnn-1(an-1lna-1),
= (Cn1a+Cn2a2+…+Cnn-1an-1)lna-(Cn1+Cn2+…+Cnn-1)
= [Cn1(a+an-1)+Cn2(a2+an-2)++Cnn-1(an-1+a)]lna-(2n-2)
≥ =
∴ 不等式成立.
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