Question

某火星探測實驗室進行電子計算機模擬實驗，結(jié)果為：探測器在近火星表面軌道做圓周運動的周期是T；探測器著陸過程中，第一次接觸火星表面后，以v₀的初速度豎直反彈上升，經(jīng)t時間再次返回火星表面，設(shè)這一過程只受火星的重力作用，且重力近似不變．已知萬有引力常量為G，試求：
（1）火星的密度；
（2）火星的半徑．

Answer 1

分析：（1）已知探測器在火星表面軌道做圓周運動的周期T根據(jù)萬有引力提供向心力可以求出火星的質(zhì)量，再根據(jù)密度定義可以求出火星的密度；
（2）根據(jù)豎直上拋工作可以求出火星表面的重力加速度，根據(jù)火星表面萬有引力與重力相等求出火星的半徑R．

解答：解：（1）設(shè)火星的半徑為R，則火星的質(zhì)量為M，探測器質(zhì)量為m，探測器繞火星表面飛行時，有：
G

mM

R2

=mR

4π2

T2

     ①
可得火星的質(zhì)量M=

4π2R3

GT2

    ②
則根據(jù)密度的定義有：ρ=

M

V

=

4π2R3 GT2

4 3 πR3

=

3π

GT2

（2）探測器在火星表面的萬有引力近似等于重力，有：
G

mM

R2

=mg′       ③
根據(jù)題意有探測器在火星表面反彈后做豎直上拋運動，根據(jù)豎直上拋運動落回拋出點的時間t=

2v0

g′

得火星表面的重力加速度
g′=

2v0

t

              ④
將②、④代入③得：R=

v0T2

2π2t

答：（1）火星的密度ρ=

3π

GT2

；
（2）火星的半徑R=

v0T2

2π2t

．

點評：圍繞萬有引力提供圓周運動的向心力和星球表面重力和萬有引力相等求解即可．