Question

如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內(nèi)的兩條光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑r=0.4m的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D可看作重合．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道ABC上距C點(diǎn)高為H的地方由靜止釋放．（取g=10m/s²）
（1）要使小球能沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)，H至少多大？
（2）若小球不沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)，但又恰好擊中與圓心等高的E點(diǎn)，則小球擊中E點(diǎn)時(shí)的速度多大？
（3）在第（2）問(wèn)中，若小球到達(dá)E點(diǎn)與軌道DEF相撞后，僅保留沿軌道切線方向的速度，則小球到達(dá)F點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？

Answer 1

分析：（1）小球從ABC軌道下滑，機(jī)械能守恒，設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為υ．小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)必須滿足mg≤m

v2

r

，聯(lián)立即可求解H；
（2）小球恰好擊中與圓心等高的E點(diǎn)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出C點(diǎn)速度，再根據(jù)速度的合成原則求出E點(diǎn)速度；
（3）在E點(diǎn)碰撞后只有豎直方向的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出到達(dá)F點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式即可求解壓力．

解答：解：（1）A、B、小球從ABC軌道下滑，機(jī)械能守恒，設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為υ．則：mgH=

1

2

mv2…①
小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)必須滿足：mg≤m

v2

r

…②
①、②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：H≥0.2m
（2）若使小球恰好擊中與圓心等高的E點(diǎn)，則
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=

2r g

=

0.08

s
所以C點(diǎn)的速度為vC=

r

t

=

2

m/s
所以E點(diǎn)速度為v=

vC2+(gt)2

=

10

m/s
（3）設(shè)小球在E點(diǎn)碰后的速度為v′_E，到達(dá)F點(diǎn)的速度為v_F，則
v_F=gt
由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mvE2+mgr=

1

2

mvF2
在F點(diǎn)有：N-mg=

mvF2

r

解得：N=50N
根據(jù)牛頓第三定律得：小球到達(dá)F點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為50N
答：（1）要使小球能沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)，H至少為0.2m；
（2）若小球不沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)，但又恰好擊中與圓心等高的E點(diǎn)，則小球擊中E點(diǎn)時(shí)的速度為

10m/s

；
（3）在第（2）問(wèn)中，若小球到達(dá)E點(diǎn)與軌道DEF相撞后，僅保留沿軌道切線方向的速度，則小球到達(dá)F點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為50N．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的題型，要知道小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)必須滿足mg≤m

v2

r

，若不滿足，則小球做平拋運(yùn)動(dòng)，難度適中．