Question

如圖所示，光滑軌道上，小車A、B用輕彈簧連接，將彈簧壓縮后用細繩系在
A、B上．然后使A、B以速度v_o沿軌道向右運動，運動中細繩突然斷開，當彈簧第一次恢復到自然長度時，A的速度剛好為O，已知A、B的質(zhì)量分別為m_A、m_B，且m_A＜m_B．求：
（1）被壓縮的彈簧具有的彈性勢能E_p．
（2）試定量分析、討論在以后的運動過程中，小車B有無速度為O的時刻？

Answer 1

分析：（1）利用動量守恒求出B物體具有的速度，然后再利用系統(tǒng)機械能守恒得到彈簧具有的彈性勢能；
（2）我們假設(shè)在以后運動過程中有某時刻B的速度為0時，此時A的速度為v_A，此時彈簧的彈性勢能為E_p
仍然利用 動量守恒和機械能守恒列出方程，得到彈簧的彈性勢能的表達式，
發(fā)現(xiàn)在m_A＜m_B的條件下彈性勢能小于零，這是不可能的，所以B的速度不能為零．

解答：解：（1）設(shè)彈簧第一次恢復自然長度時B的速度為v_B
以A、B彈簧為系統(tǒng)動量守恒（m_A+m_B）v₀=m_Bν_B…①
機械能守恒：

1

2

(mA+mB)

v

2 0

+Ep=

1

2

mB

υ

2 B

…②
由①②解出EP=

mA(mA+mB)

2mB

ν

2 0

…③
（2）設(shè)以后運動過程中B的速度為0時，A的速度為v_A，此時彈簧的彈性勢能為E_p
動量守恒（m_A+m_B）ν₀=m_Av_A…④
機械能守恒

1

2

(mA+mB)

v

2 0

+EP′=

1

2

mA

ν

2 A

…⑤
由④⑤解出Ep′=

(mA+mB)2

2mB

ν

2 0

-

(mA+mB)

2mA

ν

2 0

…⑥
因為m_A＜m_B  所以E_p'＜0    
彈性勢能小于0是不可能的，所以B的速度沒有等于O的時刻． 
答：（1）壓縮的彈簧具有的彈性勢能EP=

mA(mA+mB)

2mB

V02
    （2）在以后的運動過程中，小車B速度沒有等于零的時刻．

點評：本題的關(guān)鍵是反復使用動量守恒和機械能守恒，利用假設(shè)法得到B速度為零是不可能的，這是一道比較困難的題目．