Question

如圖所示，足夠長的斜面與水平面的夾角為θ=53°，空間中自下而上依次分布著垂直斜面向下的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、…n，相鄰兩個磁場的間距均為d=0.5m．一邊長L=0.1m、質(zhì)量m=0.5kg、電阻R=0.2Ω的正方形導(dǎo)線框放在斜面的頂端，導(dǎo)線框的下邊距離磁場I的上邊界為d₀=0.4m，導(dǎo)線框與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．將導(dǎo)線框由靜止釋放，導(dǎo)線框在每個磁場區(qū)域中均做勻速直線運(yùn)動．已知重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）導(dǎo)線框進(jìn)入磁場 I 時(shí)的速度；
（2）磁場 I 的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁；
（3）磁場區(qū)域n的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n與B₁的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）對線框研究，運(yùn)用動能定理求出導(dǎo)線框進(jìn)入磁場 I 時(shí)的速度．
（2）線框進(jìn)入磁場后受重力、支持力、安培力和摩擦力，根據(jù)共點(diǎn)力平衡，結(jié)合閉合電路歐姆定律、切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（3）線框在相鄰兩個磁場之間加速的距離均為（d-L）=d₀，根據(jù)動能定理求出線框進(jìn)入第n個磁場時(shí)的速度，結(jié)合共點(diǎn)力平衡，知在每個磁場中所受的安培力均相等，從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式．

解答：解：（1）線框從靜止開始運(yùn)動至剛進(jìn)入磁場I時(shí)，以線框?yàn)檠芯繉ο�，由動能定理有�?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(mgsinθ-μmgcosθ)?d0=

1

2

mv12-0…①
解①并代入數(shù)據(jù)得：
v₁=2m/s…②
（2）線框在磁場I中勻速運(yùn)動，由法拉第電磁感應(yīng)定律：E₁=B₁Lv₁…③
由閉合電路歐姆定律：I1=

E1

R

…④
線框受到安培力：F₁=B₁I₁L…⑤
由平衡條件有：mgsinθ-μmgcosθ-F₁=0…⑥
聯(lián)解①②③④⑤并代入數(shù)據(jù)得：B₁=5T…⑦
（3）線框在相鄰兩個磁場之間加速的距離均為（d-L）=d₀，故線框由靜止開始運(yùn)動至剛進(jìn)入第n個磁場時(shí)，由動能定理：n(mgsinθ-μmgcosθ)?d0=

1

2

mvn2-0…⑧
又由③④⑤得線框在第一個磁場I中受到的安培力：F1=

B12L2v1

R

…⑨
線框在第n個磁場受到的安培力：Fn=

Bn2L2vn

R

…⑩
線框在每個磁場區(qū)域中均作勻速直線運(yùn)動，受到的安培力均相等：F_n=F₁…（11）
聯(lián)解⑨⑩（11）（12）得：Bn=

B1

4 n

…（12）
答：（1）導(dǎo)線框進(jìn)入磁場 I 時(shí)的速度為2m/s．
（2）磁場 I 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為5T．
（3）磁場區(qū)域n的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n與B₁的函數(shù)關(guān)系為Bn=

B1

4 n

．

點(diǎn)評：本題考查了動能定理、閉合電路歐姆定律、共點(diǎn)力平衡、電磁感應(yīng)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高，要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．