Question

【題目】如圖所示，兩塊平行極板AB、CD正對(duì)放置，極板CD的正中央有一小孔，兩極板間距離AD為d，板長(zhǎng)AB為2d，兩極板間電勢(shì)差為U，在ABCD構(gòu)成的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向水平向右。在ABCD矩形區(qū)域外有垂直于紙面向里的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。極板厚度不計(jì)，電場(chǎng)、磁場(chǎng)的交界處為理想邊界。將一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子在極板AB的正中央O點(diǎn)由靜止釋放。不計(jì)帶電粒子的重力。

(1)為了使帶電粒子能夠再次進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，且進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向與電場(chǎng)方向垂直，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；

(2)通過分析說明帶電粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)的位置，并求出帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次離開電場(chǎng)區(qū)域所經(jīng)歷的總時(shí)間；

(3)通過分析說明帶電粒子最后能否返回最初的出發(fā)點(diǎn)O，并畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖。若能返回O點(diǎn)，試求出帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到最終返回O點(diǎn)所經(jīng)歷的總時(shí)間。

Answer 1

【答案】(1)；(2)從C點(diǎn)射出，； (3) ，

【解析】

(1)設(shè)帶電粒子經(jīng)過電場(chǎng)加速后，從極板CD正中央的小孔射出時(shí)的速度大小為v

帶電粒子第一次從電場(chǎng)中射出后，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若能夠再進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，且進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向與電場(chǎng)方向垂直，運(yùn)動(dòng)向改變，由此可知在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為四分之三圓，圓心位于D點(diǎn)，半徑為d，由A點(diǎn)垂直射入電場(chǎng)，如圖：

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

解得

(2)帶電粒子由A點(diǎn)垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)之后做類平拋運(yùn)動(dòng)

若能夠射出電場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間

沿電場(chǎng)方向的位移

有

解得

因此帶電粒子恰能從C點(diǎn)射出。

帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，洛倫茲力充當(dāng)向心力

由牛頓第二定律得

解得

設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，有

帶電粒子第一次在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間也為，因此帶電粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的總時(shí)間

(3)帶電粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)的速度為

設(shè)粒子離開電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角度，則

解得

由此可知在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為四分之三圓。

第二次在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，得

解得

粒子到達(dá)CD連時(shí)與C點(diǎn)的距離

因此帶電粒子恰能從D點(diǎn)射入電場(chǎng)。

根據(jù)對(duì)稱性可知，帶電粒子第三次離開電場(chǎng)的位置恰好是在B點(diǎn)，速度是v，方向與BC連垂直，然后以C點(diǎn)為圓心，半徑d做圓周運(yùn)動(dòng)，從CD的中點(diǎn)第三次進(jìn)入電場(chǎng)，最終剛好返回O點(diǎn)。粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示：

粒子從O點(diǎn)出發(fā)返回到O的過程中，四次進(jìn)出電場(chǎng)，三次在磁場(chǎng)中做四分之三的圓周運(yùn)動(dòng)。帶電粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間