Question

【題目】在地球上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把質量為m的物體P置于彈簧上端，用力壓到彈簧形變量為3x0處后由靜止釋放，從釋放點上升的最大高度為4.5x0，上升過程中物體P的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖中實線所示。若在另一星球N上把完全相同的彈簧豎直固定在水平桌面上，將物體Q在彈簧上端點由靜止釋放，物體Q的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖中虛線所示。兩星球可視為質量分布均勻的球體，星球N半徑為地球半徑的3倍。忽略兩星球的自轉，圖中兩條圖線與橫、縱坐標軸交點坐標為已知量。求：

(1)地球表面和星球N表面重力加速度之比；

(2)地球和星球N的質量比；

(3)在星球N上，物體Q向下運動過程中的最大速度。

Answer 1

【答案】(1)2:1(2)2:9(3)

【解析】

（1）由圖象可知，地球表面處的重力加速度為 g1=a0

星球N表面處的重力加速度為 g2=

則地球表面和星球N表面重力加速度之比為2∶1

（2）在星球表面，有

其中，M表示星球的質量，g表示星球表面的重力加速度，R表示星球的半徑。則

M=

因此，地球和星球N的質量比為2∶9

（3）設物體Q的質量為m2，彈簧的勁度系數為k

物體的加速度為0時，對物體P：

mg1=k·x0

對物體Q：

m2g2=k·3x0

聯立解得：m2=6m

在地球上，物體P運動的初始位置處，彈簧的彈性勢能設為Ep，整個上升過程中，彈簧和物體P組成的系統(tǒng)機械能守恒。根據機械能守恒定律，有：

在星球N上，物體Q向下運動過程中加速度為0時速度最大，由圖可知，此時彈簧的壓縮量恰好為3x0，因此彈性勢能也為Ep，物體Q向下運動3x0過程中，根據機械能守恒定律，有：

m2a23x0=Ep+

聯立以上各式可得，物體P的最大速度為v=