Question

【題目】如圖所示，在同一水平面上的兩根光滑絕緣軌道，左側(cè)間距為2l，右側(cè)間距為l，有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)僅存在于兩軌道間，磁場(chǎng)的左右邊界（圖中虛線）均與軌道垂直。矩形金屬線框abcd平放在軌道上，ab邊長(zhǎng)為l，bc邊長(zhǎng)為2l。開始時(shí)，bc邊與磁場(chǎng)左邊界的距離為2l，現(xiàn)給金屬線框施加一個(gè)水平向右的恒定拉力，金屬線框由靜止開始沿著兩根絕緣軌道向右運(yùn)動(dòng)，且bc邊始終與軌道垂直，從bc邊進(jìn)入磁場(chǎng)直到ad邊進(jìn)入磁場(chǎng)前，線框做勻速運(yùn)動(dòng)，從bc邊進(jìn)入右側(cè)窄磁場(chǎng)區(qū)域直到ad邊完全離開磁場(chǎng)之前，線框又做勻速運(yùn)動(dòng)。線框從開始運(yùn)動(dòng)到完全離開磁場(chǎng)前的整個(gè)過程中產(chǎn)生的熱量為Q。問：

(1)線框ad邊剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度大小是bc邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的幾倍？

(2)磁場(chǎng)左右邊界間的距離是多少？

(3)線框從開始運(yùn)動(dòng)到完全離開磁場(chǎng)前的最大動(dòng)能是多少？

Answer 1

【答案】(1)線框ad邊剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度大小是bc邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的4倍；(2)磁場(chǎng)左右邊界間的距離是32l；(3)線框從開始運(yùn)動(dòng)到完全離開磁場(chǎng)前的最大動(dòng)能是Q。

【解析】

(1)設(shè)磁感強(qiáng)度為B，設(shè)線框總電阻為R，線框受的拉力為F，bc邊剛進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)的速度為v1，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：

E1=2Blv1

感應(yīng)電流為：

線框所受安培力為：

F1=2BI1l

線框做勻速運(yùn)動(dòng)，其受力平衡，即：F1=F，聯(lián)立各式得：

設(shè)ad邊離開磁場(chǎng)之前，線框做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v2，同理可得：

所以：

v2=4v1；

(2)bc邊進(jìn)入磁場(chǎng)前，線框做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，bc邊到達(dá)磁場(chǎng)左邊界時(shí)，線框的速度為

從ad邊進(jìn)入磁場(chǎng)到bc邊剛好進(jìn)入右側(cè)窄磁場(chǎng)區(qū)域的過程中線框的加速度仍為a，由題意可知bc邊剛進(jìn)入右側(cè)窄磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為：

v2=4v1，

從線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)開始，直到bc邊進(jìn)入右側(cè)窄磁場(chǎng)前，線框做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)位移為s1，則：

將，代入得：

s1=30l

磁場(chǎng)左右邊界間的距離為：

s=l+s1+l=32l；

(3)整個(gè)過程中，只有拉力F和安培力對(duì)線框做功，線框離開磁場(chǎng)之前，動(dòng)能最大，設(shè)最大動(dòng)能為Ek，由動(dòng)能定理有：

WF+W安=Ek-0

由：

WF=F（2l+s+l）=35Fl

W安=-F×3l

及

Q=-W安

可知：

線框的最大動(dòng)能為：

。