Question

(2010·重慶理綜)小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如右圖所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長(zhǎng)為d，重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力．

(1)求繩斷時(shí)球的速度大小v₁和球落地時(shí)的速度大小v₂.

(2)問繩能承受的最大拉力多大？

(3)改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

解析：　(1)設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有豎直方向d－d＝gt²，水平方向d＝v₁t

聯(lián)立解得v₁＝

由機(jī)械能守恒定律，有

mv₂²＝mv₁²＋mg

得v₂＝.

(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為F_T，這也是球受到繩的最大拉力大小．

球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝d

由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，有F_T－mg＝

聯(lián)立解得F_T＝mg.

(3)設(shè)繩長(zhǎng)為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v₃，繩承受的最大拉力不變，

有F_T－mg＝m得v₃＝

繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d－l，水平位移為x，時(shí)間為t₁.

有d－l＝gt₁²，x＝v₃t₁

得x＝4

當(dāng)l＝時(shí)，x有極大值x_m＝d

答案：　(1)v₁＝　v₂＝　(2)mg　(3)l＝　x_m＝d