Question

如圖，水平地面上有一轉(zhuǎn)臺(tái)，高h(yuǎn)=10米，由半徑為R=1米和r=0.5米的兩個(gè)半圓柱拼合而成，可繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，平臺(tái)邊緣上放有兩個(gè)質(zhì)量均為m=0.1kg的物體，可視為質(zhì)點(diǎn)，由一根長(zhǎng)為1.5m的細(xì)線連接在一起，且細(xì)線過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)的圓心，A、B兩物體與平臺(tái)接觸面的動(dòng)摩擦系數(shù)均為μ=0.2，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．現(xiàn)在使轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度緩慢地增大，g=10m/s²，求：
（1）在繩子無(wú)張力時(shí)，ω的最大值為多少？
（2）在A、B兩個(gè)物體不滑動(dòng)時(shí)，ω的最大值又為多少？
（3）接第2小題，當(dāng)ω取最大值時(shí)，繩子突然斷裂，A、B兩個(gè)物體將同時(shí)離開(kāi)轉(zhuǎn)臺(tái)，當(dāng)兩個(gè)物體同時(shí)第一次著地時(shí)，其著地點(diǎn)距離是多少？（結(jié)果帶上根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）在繩子無(wú)張力時(shí)，AB兩個(gè)物體靠靜摩擦力提供向心力，當(dāng)一個(gè)物體達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，繩子開(kāi)始有張力，根據(jù)向心力公式即可求解此時(shí)的角速度；
（2）當(dāng)A、B兩個(gè)物體剛好不滑動(dòng)時(shí)，對(duì)兩個(gè)物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)合外力提供向心力列式即可求解；
（3）繩子突然斷裂時(shí)，A、B兩個(gè)物體將做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)v=ωr求出AB的線速度，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解．

解答：解：（1）在繩子無(wú)張力時(shí)，AB兩個(gè)物體靠靜摩擦力提供向心力，根據(jù)f=mω²r可知，A的半徑大，所以A最先達(dá)到最大靜摩擦力，則有：
μmg=mω²R
解得：ω=

μg R

=

0.2×10 1

=

2

rad/s
（2）當(dāng)A、B兩個(gè)物體剛好不滑動(dòng)時(shí)，兩物體都達(dá)到最大靜摩擦力，設(shè)此時(shí)繩子的拉力為T(mén)，則
T+μmg=mω′²R…①
T-μmg=mω′²r…②
由①-②解得：
ω′=2 

2

rad/s 
（3）繩子突然斷裂時(shí)，A、B兩個(gè)物體將做平拋運(yùn)動(dòng)，
此時(shí)A的速度vA=ω′R=2

2

×1=2

2

m/s
B的速度vA=ω′r=2

2

×0.5=

2

m/s
平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

2h g

=

20 10

=

2

s
則A物體水平距離為xA=vAt=2

2

?

2

=4m
A物體水平距離為xB=vBt=

2

?

2

=2m
根據(jù)幾何關(guān)系得：著地點(diǎn)距離x=

(xA+xB)2+(R+r)2

=

62+1.52

=

38.25

m
答：（1）在繩子無(wú)張力時(shí)，ω的最大值為

2

rad/s；
（2）在A、B兩個(gè)物體不滑動(dòng)時(shí)，ω的最大值又為2 

2

rad/s；
（3）接第2小題，當(dāng)ω取最大值時(shí)，繩子突然斷裂，A、B兩個(gè)物體將同時(shí)離開(kāi)轉(zhuǎn)臺(tái)，當(dāng)兩個(gè)物體同時(shí)第一次著地時(shí)，其著地點(diǎn)距離為

38.25

m．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是抓住臨界狀態(tài)，隔離物體，對(duì)物體進(jìn)行正確受力分析，根據(jù)向心力公式求解，第三問(wèn)中要注意著地點(diǎn)的距離不是兩物體做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移之和，難度適中．