Question

如圖所示，傾角為37°的光滑斜面與動(dòng)摩擦因素u=0.5的水平面平滑相連于B點(diǎn)，將一勁度系數(shù)k=500N/m的輕質(zhì)彈簧的一端固定在光滑斜面的固定板上，固定板中央留有小孔，平行于斜面的細(xì)線穿過(guò)固定板的小孔和彈簧后跨過(guò)定滑輪將小物塊和大物塊連接，小物塊與彈簧接觸但不相連，小物塊質(zhì)量m=5kg，大物塊質(zhì)量M=6kg，水平軌道上固定一相同的輕質(zhì)彈簧，自然狀態(tài)下，彈簧右端位于C點(diǎn)，初始時(shí)刻兩物塊靜止，小物塊位于A點(diǎn)．已知l_AB=0.1m，l_BC=0.06m，重力加速度g取10m/s²．現(xiàn)小球與細(xì)線突然斷開(kāi)，求：
（1）細(xì)線未斷時(shí)，輕質(zhì)彈簧的形變量x₁；
（2）在彈簧彈性限度內(nèi)，物塊與水平面上的彈簧接觸并擠壓彈簧，當(dāng)該彈簧獲得與斜面上的彈簧在細(xì)線剛斷開(kāi)時(shí)相同的彈性勢(shì)能時(shí)，小物塊的速度v；
（3）彈簧彈性勢(shì)能E_p與形變量x滿足關(guān)系Ep=

1

2

kx2，試確定小物塊的最終位置．

Answer 1

（1）細(xì)線未斷時(shí)，大球平衡：T=Mg
小球平衡：T=mgsin37°+kx₁
解得：x₁=

3mg

5k

=

3×5×10

5×500

=0.06m
（2）物塊與BC平面上的彈簧接觸獲得與初始細(xì)線斷開(kāi)時(shí)相同的彈性勢(shì)能時(shí)，彈簧壓縮0.06m．由A至水平彈簧被壓縮0.06m的過(guò)程中，由動(dòng)能定理：mglABsin370-umg(lBC+x1)=

1

2

mv2-0
解得：v²=2mgl_ABsin37°-μmg（l_BC+x₁）=5×10（2×0.1×0.6-0.5×10×0.06-0.5×10×0.06）=0；
故v=0．
（3）彈簧彈力F=k△x₁=500×0.06=30N
最大靜摩擦力f=umg=0.5×5×10=25N
因?yàn)镕＞f故物體會(huì)向右運(yùn)動(dòng)
此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能E_P1=

1

2

kx₁²=

1

2

×500×（0.06）²=0.9J；
若物體能夠向右運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)W_f=umgx₁=0.5×5×0.06=1.5J＞E_p1-0
故物體在到達(dá)C點(diǎn)前就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)該點(diǎn)距離C點(diǎn)x₂．
由動(dòng)能定理：W_T-umg（x₁-x₂）=0
又：WT=Ep1-Ep2=

1

2

k

x

21

-

1

2

k

x

22

代入數(shù)據(jù)解得：x₂=0.04m
x₂′=0.06m；
答：（1）輕質(zhì)彈簧的形變量x₁為0.06m；
（2）小物塊的速度v為0；
（3）確定小物塊的最終位置距離C點(diǎn)0.06m．