Question

為了探索宇宙的無窮奧秘，人們進行了不懈努力，假設(shè)我們發(fā)射了一顆繞X行星的衛(wèi)星，不停地向地球發(fā)射無線電波，而地球上的接收裝置與衛(wèi)星繞X行星的軌道平面在同一平面內(nèi)，接收裝置具有測量向著該裝置和背離該裝置的速度的功能，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：①接收到的信號時有時無，t₁時間內(nèi)有信號，接著t₂時間內(nèi)無信號，周而復(fù)始，不斷重復(fù)，用t₁≈t₂=t₀；②接收到的速度信號隨時間的變化關(guān)系如圖所示（圖中v₀為已知，符號為正的表示指向接收器的速度，符號為負(fù)表示是背離接收器的速度）．試根據(jù)以上特點求：
（1）該行星的平均密度；
（2）該行星的質(zhì)量；
（3）該行星的第一宇宙速度和表面的重力加速度．
（注：所有答案均用相關(guān)常量和t₀、v₀表示）

Answer 1

由題意知道，T=2t₀，是近X行星的衛(wèi)星的周期，運行速度為v₀．
（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

  r=R
M=

4π2r3

GT2

 
ρ=

M

V

=

3π

4 Gt 20

（2）根據(jù)圓周運動知識得
T=

2πR

v0

R=

t0v0

π

M=ρ?

4

3

πR³=

t0v 30

Gπ

（3）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的運行速度，所以第一宇宙速度是v₀ ．
根據(jù)萬有引力等于重力得
重力加速度g=

GM

R2

=

πv0

t0

．
答：（1）該行星的平均密度是

3π

4 Gt 20

；
（2）該行星的質(zhì)量是

t0v 30

Gπ

；
（3）該行星的第一宇宙速度和表面的重力加速度是

πv0

t0

．