Question

如圖所示，直角坐標系的y軸左方為垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B；垂直x軸豎直放置一個足夠大接收屏PQ，它離原點距離為og=L/2；直角坐標系的第一象限和第四象限的abco、ocdf均是邊長為L的正方形，內(nèi)各有一垂直紙面方向的半徑為L的1/4圓形勻強磁場區(qū)域；磁感應強度的大小均為B．bd為一線狀發(fā)射裝置，射出一束質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，以相同的初速度沿紙面垂直于bd邊射入兩個正方形區(qū)域，電子從bd邊上的任意點入射，都只能從原點O射出進入y軸左方磁場．（不考慮電子之間的相互作用，不計重力）求：
（1）第一象限和第四象限中勻強磁場區(qū)域的磁感應強度的方向．
（2）電子沿紙面垂直于bd邊射入初速度大小v₀．
（3）電子打到接收屏PQ上的范圍．
（4）打在接收屏上的電子在磁場中運動的最長時間t．

Answer 1

分析：（1）由電子的偏轉(zhuǎn)方向結(jié)合左手定則得，第一象限內(nèi)磁感應強度的方向垂直于紙面向外，第四象限內(nèi)磁感應強度的方向垂直于紙面向里
（2）由題意，電子在第一、四象限內(nèi)都能通過原點O，則知電子的偏轉(zhuǎn)方向，根據(jù)左手定則判斷出磁場的方向．電子從b點射入的電子從O點射出時，畫出軌跡，由幾何知識得到軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，即可由牛頓第二定律求出初速度v₀的大小．
（3）從O點沿-y方向進入磁場的電子打在屏上最低點，畫出軌跡，由幾何知識求出打在屏上最低點到到g的距離．當從O點沿某方向進入第二象限的電子其圓軌跡在恰與圓相切，該電子打在屏上最高位置，再畫出軌跡，即可由幾何關(guān)系求出打在屏上最高點到到g的距離，可得到電子打到接收屏PQ上的范圍．
（4）根據(jù)軌跡對應的圓心角越大，在磁場中運動時間越長可知，在所有達到屏上的電子中，從b點射入的電子在磁場中運動時間最長，分別求出該電子在第一象限和第四象限的運動題意，即可求得最長的時間．

解答：解：（1）電子從bd邊上的任意點入射，都只能從原點O射出進入y軸左方磁場，考慮電子帶負電，結(jié)合左手定則得，第一象限內(nèi)磁感應強度的方向垂直于紙面向外，第四象限內(nèi)磁感應強度的方向垂直于紙面向里
（2）考慮從b點射入的電子，由軌跡圖可知，圓周運動半徑為
r=L
由牛頓第二定律列方程得：ev0B=

mv 2 0

r

解得：v0=

eBL

m

（3）所有電子從原點O射出進入y軸左方磁場后，均做勻速圓周運動，半徑不變，其中從O點沿-y方向射入的電子打在屏上最低點h處，圓心為O₁，
設(shè)O₁g距離為x₁，由圖可知：
x1=r-

L

2

=

L

2

設(shè)gh=-y₁，由圖可知：
y1=

r2-x2

=

3 L

2

且∠gO₁h=60°，從C點下某處沿-y方向進入的電子，垂直于y軸進入左側(cè)勻強電場中，其軌跡在i點恰與PQ相切，改i點為屏最高位置，如圖所示，圓心為o₂，o₂i交y軸于j點，設(shè)o₂j=x₂，gi=oj=y₂，由圖可知，
x2=r-

L

2

=

L

2

y2=

r2 -x 2 2

=

3

2

L
（4）在所有達到屏上的電子中，只有從b點射入的電子在磁場中運動時間最長，它在

1

4

圓形區(qū)域的運動時間：
t1=

T

4

=

1

4

×

2πm

eB

=

πm

2eB

它在y軸左側(cè)區(qū)域運動時間為：t₂=

T

6

=

1

6

×

2πm

eB

=

πm

3eB

在磁場中運動的最長時為：
t=t1+t2=

5πm

6eB

答：（1）第一象限內(nèi)磁感應強度的方向垂直于紙面向外，第四象限內(nèi)磁感應強度的方向垂直于紙面向里
（2）初速度大小為

eBL

m

（3）電子打到接收屏PQ上的范圍為-

3

2

L≤y≤

3

2

L
（4）打在接收屏上的電子在磁場中運動的最長時間為

5πm

6eB

點評：對于帶電粒子在磁場中運動問題，確定圓心、定出半徑，畫出軌跡是基本方法，根據(jù)幾何知識求得圓心角，可求得時間．