Question

早期的電視機(jī)是用顯像管來顯示圖象的，在顯像管中需要用變化的磁場來控制電子束的偏轉(zhuǎn)．如圖甲為顯像管工作原理示意圖，陰極K發(fā)射的電子束（初速不計）經(jīng)電壓為U的加速電場后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)，磁場方向垂直于圓面，磁場區(qū)的中心為O，半徑為r，熒光屏MN到磁場區(qū)中心O的距離為L．當(dāng)不加磁場時，電子束將通過O點(diǎn)垂直打到屏幕的中心P點(diǎn)，當(dāng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間按如圖乙所示的規(guī)律變化時，在熒光屏上得到一條長為2

3

L的亮線．由于電子通過磁場區(qū)的時間很短，可以認(rèn)為在每個電子通過磁場區(qū)的過程中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度不變．已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，不計電子之間的相互作用及所受的重力．求：
（1）從進(jìn)入磁場區(qū)開始計時，電子打到P經(jīng)歷的時間；
（2）從進(jìn)入磁場區(qū)開始計時，電子打到亮線端點(diǎn)經(jīng)歷的時間．

Answer 1

分析：（1）電子經(jīng)過電場時，電場力做功，求得電子到達(dá)磁場前的速度；達(dá)到P點(diǎn) 電子一直做勻速直線運(yùn)動，根據(jù)公式x=vt即可求得時間；
（2）到達(dá)亮線端點(diǎn)的電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，并且沿半徑的方向射出磁場，然后做勻速直線運(yùn)動，電子打到亮線端點(diǎn)經(jīng)歷的時間是兩段時間的和．

解答：解：（1）由動能定理得：eU=

1

2

mv² 
所以：v=

2eU m

達(dá)到P點(diǎn) 電子一直做勻速直線運(yùn)動，t1=

r+L

v

=(L+r)

m 2eU

（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀或-B₀時（垂直于紙面向里為正方向），電子剛好到達(dá)最下邊或最上邊的最遠(yuǎn)處，到達(dá)最上邊的粒子的軌跡如圖所示．
由圖可知，粒子的偏轉(zhuǎn)角：tanα=

3 L

L

=

3

解得：α=60°
設(shè)此時圓周的半徑為R，由洛倫茲力提供向心力：eBv=

mv2

R

根據(jù)幾何關(guān)系有：

r

R

=tan

α

2

=

3

3

解得：B=

3 mv

3er

粒子運(yùn)動的周期：T=

2πR

v

=

2πm

eB

粒子在磁場中的運(yùn)動時間：t=

60°

360°

T=

πm

3eB

=

πmr

6meU

=πr

m 6eU

由幾何關(guān)系得粒子在直線運(yùn)動的位移x：

L-r

x

=cos60°
因此有：x=

2 3

3

(L-r)
又：x=vt′
代入數(shù)據(jù)解得：t′=

x

v

=2(L-r)

m 6eU

解得粒子打到亮線端點(diǎn)經(jīng)歷的時間：t2=t+t′=2(L-r+

πr

2

)

m 6eU

答：（1）從進(jìn)入磁場區(qū)開始計時，電子打到P經(jīng)歷的時間t1=(L+r)

m 2eU

；
（2）從進(jìn)入磁場區(qū)開始計時，電子打到亮線端點(diǎn)經(jīng)歷的時間t2=2(L-r+

πr

2

)

m 6eU

．

點(diǎn)評：考查動能定理、動量定理與牛頓第二定律等規(guī)律的理解，掌握幾何關(guān)系的應(yīng)用，同時畫出正確的運(yùn)動軌跡．