Question

【題目】輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長度為l．現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示．物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后釋放，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g．
①若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)間的距離；
②若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P得質(zhì)量的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：①將彈簧豎直放置在地面上，物體下落壓縮彈簧時(shí)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得
Ep=5mgl
如圖，根據(jù)能量守恒定律得
Ep=μmg4l+
聯(lián)立解得 vB=
物體P從B到D的過程，由機(jī)械能守恒定律得
mg2l+ =
解得 vD=
物體P離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
2l=
x=vDt
解得 x= l
即落地點(diǎn)與B點(diǎn)間的距離為 ．
②P剛好過B點(diǎn)，有：Ep=μm1g4l，解得 m1= m
P最多到C而不脫軌，則有 Ep=μm2g4l+m2gl，解得 m2= m
所以滿足條件的P得質(zhì)量的取值范圍為： m≤mP＜ m．
答：①P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小是 ，它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)間的距離是 ．②P得質(zhì)量的取值范圍為： m≤mP＜ m．
【解析】①先研究彈簧豎直的情況，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能．彈簧如圖放置時(shí)，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時(shí)的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢能相等．由能量守恒定律求出物體P滑到B點(diǎn)時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出物體P到達(dá)D點(diǎn)的速度．物體P離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求水平距離．
②P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，能上升的最高點(diǎn)為C，根據(jù)能量守恒定律列式和臨界條件求解．解決本題時(shí)要抓住彈簧的形變量相等時(shí)彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，分段運(yùn)用能量守恒定律列式是關(guān)鍵．