Question

如圖所示，一質量為m=1kg的小物塊輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上的A點，隨傳送帶運動到B點，小物塊從C點沿圓弧切線進入豎直光滑的半圓軌道恰能做圓周運動．已知圓弧半徑R=0.9m，軌道最低點為D，D點距水平面的高度h=0.8m．小物塊離開D點后恰好垂直碰擊放在水平面上E點的固定傾斜擋板．已知物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，傳送帶以5m/s恒定速率順時針轉動（g取10m/s²），試求：
（1）傳送帶AB兩端的距離；
（2）小物塊經過D點時對軌道的壓力的大小；
（3）傾斜擋板與水平面間的夾角θ的正切值．

Answer 1

分析：（1）小物塊從C點沿圓弧切線進入豎直光滑的半圓軌道恰能做圓周運動，知物塊對軌道的壓力恰好為零，根據(jù)重力提供向心力求出C點的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上運動的加速度，根據(jù)運動學公式求出傳送帶AB兩端的距離．
（2）根據(jù)動能定理求出物塊在D點的速度，再通過牛頓第二定律求出軌道對物塊的支持力，從而得出物塊對軌道的壓力．
（3）物塊離開D點做平拋運動，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，根據(jù)豎直方向和水平方向速度的關系求出傾斜擋板與水平面間的夾角θ的正切值．

解答：解：（1）對小物塊，在C點恰能做圓周運動，由牛頓第二定律得：mg=m

v 2 1

R

，
則v1=

gR

=3m/s．
由于v₁=3m/s＜5m/s，小物塊在傳送帶上一直加速，則由A到B有a=

μmg

m

=μg=3m/s2，

v

2 1

=2axAB
代入數(shù)據(jù)解得：x_AB=1.5m．
（2）對小物塊，由C到D有2mgR=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

在D點F_N-mg=m

v 2 2

R

，代入數(shù)據(jù)解得F_N=60N．
由牛頓第三定律知小物塊對軌道的壓力大小為FN′=FN=60N
（3）小物塊從D點拋出后做平拋運動，則h=

1

2

gt2，
解得t=0.4s
將小物塊在E點的速度進行分解得tanθ=

v2

gt

=

3 5

4

．
答：（1）傳送帶AB兩端的距離為1.5m．
（2）小物塊經過D點時對軌道的壓力的大小為60N．
（3）傾斜擋板與水平面間的夾角θ的正切值為

3 5

4

．

點評：解決本題的關鍵理清物塊的運動，物塊經歷了勻加速直線運動，圓周運動和平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律、動能定理以及運動學公式綜合求解．