Question

【題目】所謂暗物質(zhì)是指宇宙中那些既不發(fā)光也不反光，因而無法看到的物質(zhì)，不過暗物質(zhì)與通常物質(zhì)都遵循萬有引力定律，天文觀測有跡象表明，暗物質(zhì)的質(zhì)量可能占宇宙總質(zhì)量的90%至99%．如果能用磁譜儀探測到暗物質(zhì)，從而進(jìn)一步測出宇宙中物質(zhì)的總平均密度，那么，我們就能根據(jù)下面敘述的原理預(yù)言宇宙膨脹的前景．

宇宙的膨脹現(xiàn)象是在20世紀(jì)30年代由哈勃等科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的，它是指觀察者在宇宙中的任何一個星系（例如O）上向任何一方向看去，會看到所有其他的星系（例如P）都在遠(yuǎn)離自己，其速度v與距離R成正比，即，如圖b所示比例系數(shù)H叫哈勃常量，單位為千米/（秒·光年）．

①如果認(rèn)為宇宙是均勻的各向同性的，其物質(zhì)密度為，那么質(zhì)量為m的星系P在遠(yuǎn)離觀察者O時，所受到的宇宙所有其他物質(zhì)（包括圖b球面內(nèi)、外兩部分）對它的總引力是多少？

②如果質(zhì)量為m的星系P相對于O點(diǎn)的引力勢能（其中M為圖b中球面內(nèi)物質(zhì)的質(zhì)量），星系P的總能量E等于其動能與引力勢能之和，以證明恰使E=0的宇宙物質(zhì)密度．

③試說明，通過比較現(xiàn)在宇宙的物質(zhì)密度與上述密度的大小即可預(yù)言宇宙膨脹前景：或永遠(yuǎn)膨脹下去，或在將來的某一時刻停止膨脹，轉(zhuǎn)而變?yōu)槭湛s．

Answer 1

【答案】① ②證明見解析 ③ 說明見解析

【解析】

①半徑為R的球面內(nèi)所有物質(zhì)的質(zhì)量為，對P的萬有引力．而球外的所有物質(zhì)可以看作是無數(shù)多個空心物質(zhì)殼的總合，每一個密度均勻的空心球殼對其內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)的引力為零，故該球面外所有物質(zhì)對P的引力．綜合以上兩部分，可知宇宙中所有物質(zhì)對P的總引力．

②因，可以看出，星系P的行為跟地球表面上拋物體的行為類似，當(dāng)初動能完全轉(zhuǎn)化為引力勢能時，總能量E=0，即：，將代入，可解得

③當(dāng)時，，則，因M恒定，說明星系P雖隨R增大在減速，但星系間距離R的增大并無上限，即宇宙將永遠(yuǎn)膨脹下去。當(dāng)時，，則有（c為光速），由此可知．星系間距高達(dá)最大值時，宇宙膨脹停止，開始轉(zhuǎn)為收縮。