Question

（19分）如圖所示，以A、B和C、D為斷點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C兩點(diǎn)，一物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)被牢固粘連。物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m,滑板質(zhì)量為M=2m，兩半圓半徑均為R，板長(zhǎng)l=6.5R,板右端到C點(diǎn)的距離L在R<L<5R范圍內(nèi)取值，E點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，重力加速度g已知。

(1)求物塊滑到B點(diǎn)的速度大小；
(2)求物塊滑到B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力；
(3)試討論物塊從滑上滑板到離開(kāi)右端的過(guò)程中，克服摩擦力做的功與L的關(guān)系.并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn)。

Answer 1

（1）  （2）10mg     （3）①R＜L＜2R時(shí)，W_f=mg（6.5R+L）
②2R≤L＜5R時(shí)，W_f==4.25mgR＜4.5mgR，
物塊不能滑到CD軌道中點(diǎn)

解析試題分析：（1）設(shè)物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為u_B,對(duì)物體從E到B過(guò)程，
根據(jù)動(dòng)能定理得  .
解得：   .
（2）物塊在B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律午   .
解得：    .
（3）物塊從B滑上滑板后開(kāi)始作勻減速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑板開(kāi)始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊與滑板達(dá)共同速度時(shí)，二者開(kāi)始作勻速運(yùn)動(dòng)。
由動(dòng)量定理
它們的共同速度為
此過(guò)程，對(duì)物塊據(jù)動(dòng)能定理得   .
解得s₁=8R      .
此過(guò)程，對(duì)滑板據(jù)動(dòng)能定理得     .
解得s₂=2R      .
由此可知物塊在滑板上滑過(guò)s₁－s₂=6R時(shí)，二者就具有共同速度了。因?yàn)?R<6.5R,所以物塊并沒(méi)有從滑板上滑下去    .
討論：
?當(dāng)R<L<2R時(shí)，物塊在滑板上一直勻減速運(yùn)動(dòng)至右端，運(yùn)動(dòng)的位移為6.5R+L，克服摩擦力做的功，
設(shè)滑上C點(diǎn)的速度為，對(duì)物塊，根據(jù)動(dòng)能定理得：
，
解得： 小于mgR，所以物塊不可能滑到CD軌道的中點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，物塊勻減速運(yùn)動(dòng)8R，勻速運(yùn)動(dòng)L-2R，再勻減速運(yùn)動(dòng)0.5R，克服摩擦力做功，
解得，所以物塊不能滑到CD軌道的中點(diǎn)
考點(diǎn)：本題考查機(jī)械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板是關(guān)鍵，是一道比較困難的好題．