Question

如圖甲所示，兩平行金屬板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的交流電壓u，金屬板間電場(chǎng)可看做均勻、且兩板外無電場(chǎng)，板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.1m，在金屬板右側(cè)有一左邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷

q

m

=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視為恒定不變．求：
（1）垂直邊界MN進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）為了使射入電場(chǎng)的帶電粒子全部進(jìn)入磁場(chǎng)，交變電壓的最大值u_m和粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的最大速度；
（3）所有進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從邊界MN上哪個(gè)范圍離開磁場(chǎng)的．

Answer 1

分析：（1）有洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，水平方向?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)，豎直方向?yàn)槌跛俣葹榱愕膭蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
帶電粒子從平行板邊緣射出時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，獲得的動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）經(jīng)過電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，粒子速度向上偏轉(zhuǎn)或向下偏轉(zhuǎn)，畫出可能的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到軌道半徑，通過幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）帶電粒子垂直邊界MN進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，v=v₀：
Bqv=m

v 2 0

R

 R=

mv0

Bq

=0.2m
（2）帶電粒子恰好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)電壓應(yīng)為u_m：

d

2

=

1

2

at2  
a=

Eq

m

=

Umq

dm

    
 t=

l

v0

u_m=25V
帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為v_m，由動(dòng)能定理

qUm

2

=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

vm=5

5

×104m/s
（3）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OO'的夾角為θ
則任意時(shí)刻粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小v=

v0

cosθ

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R
R=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

設(shè)帶電粒子從磁場(chǎng)中飛出的位置與進(jìn)入磁場(chǎng)的位置之間的距離為l
l=2Rcosθ=

2mv0

qB

=0.4m            
由上式可知，射出電場(chǎng)的任何一個(gè)帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的入射點(diǎn)與射出磁場(chǎng)時(shí)的出射點(diǎn)間距離為定值，
l與θ無關(guān)，與所加電壓值無關(guān)．        
考慮粒子在電場(chǎng)中向上（設(shè)沿M方向?yàn)橄蛏希┗蛳蛳聝煞N偏轉(zhuǎn)可能，設(shè)粒子離開磁場(chǎng)時(shí)在點(diǎn)的上方且距離點(diǎn)為Y的位置，則：
Y=l+

1

2

at2=l+

UqL2

2md v 2 0

當(dāng)粒子在兩板間受到向上電場(chǎng)力作用時(shí)，Y的范圍為0.40m～0.45m
當(dāng)粒子在兩板間受到向下電場(chǎng)力作用時(shí)，Y的范圍為0.35m～0.40m
所以粒子在邊界MN上距點(diǎn)上方0.35m～0.45m范圍內(nèi)離開磁場(chǎng)的．
答：（1）垂直邊界MN進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是0.2m；
（2）為了使射入電場(chǎng)的帶電粒子全部進(jìn)入磁場(chǎng)，交變電壓的最大值是25V，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的最大速度是5

5

×104m/s；
（3）粒子在邊界MN上距點(diǎn)上方0.35m～0.45m范圍內(nèi)離開磁場(chǎng)的．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是畫出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑，然后求出磁偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式，并得出回旋角度的范圍，從而得到磁偏轉(zhuǎn)的范圍．