Question

A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行方向相同，A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2，已知恒星質(zhì)量為，恒星對(duì)行星的引力遠(yuǎn)大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑r??1＜r2。若在某一時(shí)刻兩行星相距最近，試求：

（1）再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩行星距離又最近？

（2）再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩行星距離最遠(yuǎn)？

Answer 1

（1）

（2）

解析:

（1）A、B兩行星如右圖所示位置時(shí)距離最近，這時(shí)A、B與恒星在同一條圓半徑上，A、B運(yùn)動(dòng)方向相同，A更靠近恒星，A的轉(zhuǎn)動(dòng)角度大、周期短，如果經(jīng)過(guò)時(shí)間t，A、B與恒星連線半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度相差2π的整數(shù)倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近。

解：（1）設(shè)A、B的角速度分別為ω1、ω2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，A轉(zhuǎn)過(guò)的角度為ω1t，B轉(zhuǎn)過(guò)的角度為ω2t。A、B距離最近的條件是：

ω1t-ω2t=。

恒星對(duì)行星的引力提供向心力，則：

，

由得得出：，，

求得：。

（2）如果經(jīng)過(guò)時(shí)間，A、B轉(zhuǎn)過(guò)的角度相差π的奇數(shù)倍時(shí)，則A、B相距最遠(yuǎn)，即

。

故。把ω1、ω2代入得：

點(diǎn)評(píng)：太陽(yáng)系有九大行星，它們之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，如要知道哈雷彗星下次光顧地球是什么時(shí)間，就要分析兩運(yùn)動(dòng)間的角速度關(guān)系，本題關(guān)鍵是正確寫出兩行星相距離最近和相距最遠(yuǎn)的條件。