Question

（2010?河西區(qū)二模）如圖1所示，上海磁懸浮列車專線西起上海地鐵2號(hào)線的龍陽路站，東至上海浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)，專線全長(zhǎng)29.863公里．有中德兩國(guó)合作開發(fā)的世界第一條磁懸浮商運(yùn)線．磁懸浮列車的原理如圖2所示．在水平面上，兩根平行直導(dǎo)軌間有豎直方向且等間距的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁、B₂，導(dǎo)軌上有金屬框abcd，金屬框的面積與每個(gè)獨(dú)立磁場(chǎng)的面積相等．當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁、B₂同時(shí)以速度v沿直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．設(shè)直線導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)=0.4m，B₁=B₂=1T，磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)速度為v=5m/s，金屬框的電阻為R=2Ω．試求：
（1）若金屬框不受阻力時(shí)，金屬框如何運(yùn)動(dòng)，
（2）當(dāng)金屬框始終受到f=1N的阻力時(shí)，金屬框相對(duì)與地面的速度是多少：
（3）當(dāng)金屬框始終受到1N的阻力時(shí)，要使金屬礦維持最大速度，每秒鐘需要消耗多少能量？這些能量是誰提供的？

Answer 1

分析：（1）此題的難點(diǎn)在于存在交變磁場(chǎng)．線框運(yùn)動(dòng)過程中，acac和bd邊都切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，圖示位置時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相同，根據(jù)左手定則判斷ac、db邊所受的安培力方向，即可分析金屬框的運(yùn)動(dòng)情況．
（2）當(dāng)金屬框受到阻力時(shí)，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力與線框受到的安培力平衡，根據(jù)F=BIL，E=BLv_相推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求出線框與磁場(chǎng)的相對(duì)速度v_相，金屬框相對(duì)于地面的速度為v_地=v₀-v_相．
（3）要使金屬框維持最大速度，必須給系統(tǒng)補(bǔ)充能量：一方面，線框內(nèi)部要產(chǎn)生焦耳熱；另一方面，由于受到阻力，摩擦生熱．這些能量都是由磁場(chǎng)誰提供．摩擦生熱由Q₁=fs=fv_地t求解，焦耳熱由焦耳定律求解，即可得到總熱量．

解答：解：（1）首先分析ac和bd邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由于磁場(chǎng)方向相反，且線圈相對(duì)于磁場(chǎng)向左運(yùn)動(dòng)，因此，在如圖位置的電動(dòng)勢(shì)方向相同（逆時(shí)針），根據(jù)左手定則，ac邊和bd邊受到的安培力都向右．所以金屬框做變加速運(yùn)動(dòng)，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）當(dāng)金屬框受到阻力時(shí)，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力與線框受到的安培力平衡，設(shè)此時(shí)金屬框相對(duì)于磁場(chǎng)的速度為v，則
   F=BIL，E=BLv_相，
f=2BIL=2×

2BLv相

R

BL
得v_相=

fR

4B2L2

=

1×2

4×12×0．42

=3.125m/s
所以金屬框相對(duì)于地面的速度為
  v_地=v₀-v_相=5-3.125=1.875m/s
（3）要使金屬框維持最大速度，必須給系統(tǒng)補(bǔ)充能量：一方面，線框內(nèi)部要產(chǎn)生焦耳熱；另一方面，由于受到阻力，摩擦生熱．設(shè)每秒鐘消耗的能量為E，這些能量都是由磁場(chǎng)誰提供．由于摩擦每秒鐘產(chǎn)生的熱量為Q₁：
  Q₁=fs=fv_地t=1×1.875×1=1.875J
每秒鐘內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為Q₂：
    Q₂=I²Rt=(

2BLv相

R

)2Rt=(

2×0.4×3.125

2

)2×2×1=3.125J
所以Q=Q₁+Q₂=5J
根據(jù)能量守恒可知這些能都是由磁場(chǎng)提供的．
答：
（1）若金屬框不受阻力時(shí)，金屬框做變加速運(yùn)動(dòng)，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）當(dāng)金屬框始終受到f=1N的阻力時(shí)，金屬框相對(duì)與地面的速度是1.875m/s．
（3）當(dāng)金屬框始終受到1N的阻力時(shí)，要使金屬礦維持最大速度，每秒鐘需要消耗5J的能量，這些能量是磁場(chǎng)提供的．

點(diǎn)評(píng)：本題線框處于交變的磁場(chǎng)中，要抓住ac和bd邊都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，都受到安培力作用．應(yīng)根據(jù)磁場(chǎng)與線框的相對(duì)速度求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．