Question

（19分）如圖為某種魚(yú)餌自動(dòng)投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧。投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚(yú)餌，解除鎖定，彈簧可將魚(yú)餌彈射出去。設(shè)質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)管壁的作用力恰好為零。不計(jì)魚(yú)餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能。已知重力加速度為g。求：

⑴質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v₁；

⑵彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_p；

⑶已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線(xiàn)OO′在90º角的范圍內(nèi)來(lái)回緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只放置一粒魚(yú)餌，魚(yú)餌的質(zhì)量在2m/3到m之間變化，且均能落到水面。持續(xù)投放足夠長(zhǎng)時(shí)間后，魚(yú)餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

 

Answer 1

（1）（2）3mgR（3）

解析:（1）質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，則mg =

解得　v₁ =

（2）彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為魚(yú)餌的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律有E_P = mg(1.5R+R)+

解得　E_P = 3mgR

（3）不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)裝置對(duì)魚(yú)餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚(yú)餌離開(kāi)管口C后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有

4.5R = ，x₁ = v₁t+R，解得　x₁ = 4R

當(dāng)魚(yú)餌的質(zhì)量為時(shí)，設(shè)其到達(dá)管口C時(shí)速度大小為v₂，由機(jī)械能定律有

E_P =

解得　v₂ =

質(zhì)量為的魚(yú)餌落到水面上時(shí)，設(shè)離OO′的水平距離為x₂，則x₂ = v₂t+R

解得　x₂ = 7R

魚(yú)餌能夠落到水面的最大面積S = ≈ 8.25πR³