Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一個(gè)坐標(biāo)系，在且區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止開始自由下落，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到P（0，-d）點(diǎn)時(shí)，在整個(gè)空間內(nèi)突然加一豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)（電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小未知），使小球從P點(diǎn)返回到O點(diǎn)的時(shí)間與從O點(diǎn)下落到P點(diǎn)所用時(shí)間相等；當(dāng)小球返回到O點(diǎn)時(shí)，其所帶電荷量突然減為原來的，且再次通過軸時(shí)速度方向與軸正方向間的夾角為30°，已知重力加速度為g，試求：

（1）小球返回O點(diǎn)時(shí)的速度大��；

（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；

（3）小球從O點(diǎn)自由下落到第二次經(jīng)過軸時(shí)的總時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)小球從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所用時(shí)間為，在P點(diǎn)的速度為，返回O點(diǎn)時(shí)的速度為，則有

解得

即

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

解得

（2）小球從O點(diǎn)落到P再返回到O的全過程由動(dòng)能定理可得

解得

【或用動(dòng)力學(xué)求解為:由牛頓第二定律得

其中

則

當(dāng)小球返回O點(diǎn)電荷量變?yōu)樵瓉淼乃姆种�一，根�?jù)題意可知，電場(chǎng)力

因此小球?qū)⒆鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)。作粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得

由洛倫茲力提供向心力可得時(shí)

解得

（3）由上可知，小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

小球離開磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由圖中幾何關(guān)系可知

得

故

.