Question

如圖所示，豎直平面內有一粗糙的圓弧圓管軌道，其半徑為R=0.5m，內徑很小．平臺高h=1.9m，一質量m=0.5kg、直徑略小于圓管內徑的小球，從平臺邊緣的A處水平射出，恰能沿圓管軌道上P點的切線方向進入圓管內，軌道半徑OP與豎直線的夾角為37°．g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．不計空氣阻力．求：
（1）小球從平臺上的A點射出時的速度v₀是多大？
（2）小球通過最高點Q時，圓管軌道對小球向下的壓力F_Q=3N，小球在圓管軌道中運動時克服阻力所做的功W是多少？

Answer 1

（1）設小球拋出后做平拋運動至P，
豎直位移y=h-R（1-cos37°）
由y=

1

2

gt²
知平拋用時t=

2y g

=0.6s
小球達P點豎直速度小球達P點豎直速度v_y=gt=6m/s
小球恰沿P點切線方向進入圓管，由速度關系：
tanθ=

vy

vx

小球從平臺上的A點射出時的速度v₀=

vy

tan37°

=8m/s；
（2）小球在P點速度v_p=

v 20 + v 2y

=10m/s
小球在圓周Q點，由牛頓第二定律：
mg+F_Q=m

v 2Q

R

小球由P運動到Q過程，上升高度H=R+Rcos37°=0.9m
由動能定理：
-mgH-W=

1

2

m

v

2Q

-

1

2

m

v

2p

聯(lián)立解得，小球在圓管軌道中運動時克服阻力所做的功
W=18.5J．
答：（1）小球從平臺上的A點射出時的速度v₀是8m/s；
（2）小球在圓管軌道中運動時克服阻力所做的功W是18.5J．