Question

如圖，在空間中存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場方向垂直xOy平面（紙面）向外，同時(shí)在x＞0的空間中存在勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)沿y軸正方向．一帶電量為+q、質(zhì)量為m的帶電運(yùn)動(dòng)粒子，以某一速度經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，方向沿x軸負(fù)方向，經(jīng)過一定時(shí)間經(jīng)過y軸上y=L處的P點(diǎn)進(jìn)入x＞0的空間，并在x＞0的空間中做勻速直線運(yùn)動(dòng)．不計(jì)重力．求：
（1）粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的速度υ？
（2）若保持粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)的速度不變，而將x＞0的空間中的勻強(qiáng)電場撤去，勻強(qiáng)磁場大小變?yōu)?B，方向變?yōu)榇怪眡Oy平面（紙面）向里，粒子將經(jīng)過y軸上的N（圖中未標(biāo)）點(diǎn)．則粒子從O點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間及N到O點(diǎn)的距離分別為多少？
（3）若保持粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)的速度不變，而將x＞0的空間中的勻強(qiáng)磁場撤去，勻強(qiáng)電場大小保持不變，方向變?yōu)檠貀軸負(fù)方向，粒子將經(jīng)過x軸上的Q點(diǎn)．則粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間及在Q點(diǎn)時(shí)的速度大小分別為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大小，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求出粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的速度．
（2）將磁場變?yōu)樵瓉淼?倍，粒子在x＞0的空間中繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)半徑公式求出O點(diǎn)到N點(diǎn)的距離．結(jié)合周期公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）將x＞0的空間中的勻強(qiáng)磁場撤去，勻強(qiáng)電場大小保持不變，方向變?yōu)檠貀軸負(fù)方向，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及動(dòng)能定理求出粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間及在Q點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

解答：解：（1）設(shè)粒子在O點(diǎn)的速度大小為υ，粒子在x＜0空間中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則r=

mυ

qB

…①
2r=L…②
得υ=

qBL

2m

…③
（2）粒子在x＞0的空間中，有r′=

mv

q?2B

=

1

2

r
則x2（r+r′）=

3L

2

　
在x＜0空間中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

πm

qB

，在x＞0的空間中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=

πm

q?2B

則t=

3πm

2qB

（3）粒子進(jìn)入x＞0的空間后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為E，則
qE═qυB…④得
E=

qB2L

2m

…⑤
當(dāng)撤去x＞0空間中的勻強(qiáng)磁場，勻強(qiáng)電場方向變?yōu)檠貀軸負(fù)方向后，粒子在x＞0的空間從P點(diǎn)開始在x軸正方向做速度為υ的勻速直線運(yùn)動(dòng)，在y軸負(fù)方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，設(shè)從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的時(shí)間為t，則a=

qE

m

…⑥
a=

q2B2L

2m2

…⑦
L═

1

2

at2…⑧
t═

2m

qB

…⑨
設(shè)粒子在Q點(diǎn)時(shí)速度大小為υ₁，根據(jù)動(dòng)能定理得，則

1

2

mυ12-

1

2

mυ2=qEL…⑩
υ1=

5 qBL

2m

答：（1）粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的速度υ=

qBL

2m

．
（2）粒子從O點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是

3πm

2qB

，N到O點(diǎn)的距離為

3L

2

．
（3）粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

2m

qB

及在Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為υ1=

5 qBL

2m

．

點(diǎn)評：本題考查粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及動(dòng)能定理進(jìn)行求解．