Question

（19分）如圖（甲）所示，兩足夠長(zhǎng)的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN，PQ相距為L(zhǎng)=1m，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α=37°，導(dǎo)軌電阻不計(jì).磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面向上，長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m的金屬桿ab垂直于MN，PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬桿的質(zhì)量為m₁=2kg、電阻為R₁=3Ω.兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右側(cè)電路，電路中通過導(dǎo)線接一對(duì)水平放置的平行金屬板，兩板間距離和板長(zhǎng)均為d=1m，定值電阻為R₂=1Ω.現(xiàn)閉合開關(guān)S并將金屬桿由靜止釋放，取重力加速度g=10m/s².
（1）求金屬桿沿導(dǎo)軌下滑的最大速率v_m；
（2）當(dāng)金屬桿穩(wěn)定下滑時(shí)，在水平放置的平行金屬板間加一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂=3T，在下板的右端C點(diǎn)且非常靠近下板的位置有一質(zhì)量為m₂=6×10-5kg、帶電量為q=-1×10^-4C的液滴以初速度v水平向左射入磁場(chǎng)，該液滴可視為質(zhì)點(diǎn)，要使帶電液滴能從金屬板間射出，則初速度v滿足什么條件？
（3）若帶電液滴射入的速度恰好使液滴從D點(diǎn)飛出，液滴從C點(diǎn)射入時(shí)，再?gòu)脑摯艌?chǎng)區(qū)域加一個(gè)如圖（乙）所示的變化磁場(chǎng)（正方向與B₂方向相同，不考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生的電場(chǎng)），求該帶電液滴從C點(diǎn)射入到運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t.

Answer 1

（1）12 m/s  （2）或  （3）

試題分析：（1）當(dāng)金屬桿勻速下滑時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為v_m，達(dá)到最大時(shí)則有
  …………（2分）
 ………（1分）      …………（1分）
所以      解得最大速度  …………（1分）
（2）金屬桿穩(wěn)定下滑時(shí)，E=BLv=24V，兩板間電壓U=IR₂=6V....... （1分）
因?yàn)橐旱卧趦砂彘g有 所以該液滴在兩平行金屬板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)………（1分）

當(dāng)液滴恰從上板左端邊緣射出時(shí)：   r₁=1m
 
所以 …………（2分）
當(dāng)液滴恰從上板右側(cè)邊緣射出時(shí)： 所以 …………（2分）
初速度v應(yīng)滿足的條件是：或  …………（1分）
（3）當(dāng)速度v=2.5m/s時(shí)，液滴從D點(diǎn)飛出，在磁場(chǎng)B₂中運(yùn)動(dòng)周期     （1分）

液滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第一次遇到外加磁場(chǎng)前的過程中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角          ………（1分）
施加附加磁場(chǎng)后，液滴在磁場(chǎng)中做的圓周運(yùn)動(dòng)半徑將變小，周期T₂為
   …………（1分）
即離子剛好能運(yùn)動(dòng)一個(gè)完整的圓周，接下來在B₂磁場(chǎng)中繼續(xù)偏轉(zhuǎn)
對(duì)照外加磁場(chǎng)的規(guī)律可知，每隔液滴在周期性外加磁場(chǎng)時(shí)，離子可做3次完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后還經(jīng)過D點(diǎn)離開磁場(chǎng)，如圖所示．離子從C點(diǎn)射入磁場(chǎng)到D點(diǎn)的總時(shí)間t為
              …………（3分）
解得               …………（1分）