Question

【題目】如圖所示，傾角θ=30°、長度L=10m 的傳送帶以v=3m/s的速度穩(wěn)定地逆時針傳動。質(zhì)量m=0.5kg、底部帶有紅色顏料的小滑塊從距傳送帶底端 d=6.75m的P處，以v0=6m/s的初速度向上運(yùn)動。已知滑塊與傳送帶的動摩擦因數(shù)。試求：

(1)滑塊在傳送帶上運(yùn)動的時間；

(2)滑塊在傳送帶上留下的紅色痕跡長度。

Answer 1

【答案】（1）3s；（2）6.75m.

【解析】

（1）滑塊受到重力mg、支持力FN、沿斜面向下的摩擦力f作用，根據(jù)牛頓第二定律可得：

mgsinθ+f=ma

FN=mgcosθ

又

f=μFN

聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)得：

a=6m/s2

開始滑塊向上做勻減速運(yùn)動，減速到零時所有時間為

滑塊向上運(yùn)動的距離為

因?yàn)?/span>x＜L-d，所以滑塊還沒有到達(dá)傳動帶最高點(diǎn)時速度已經(jīng)為零，以后滑塊將沿傳送帶向下以加速度a做勻加速運(yùn)動，設(shè)經(jīng)時間t2與傳送帶速度相等，則：

向下運(yùn)動的位移為

滑塊速度與傳送帶速度相等時，滑塊所受摩擦力方向變?yōu)檠貍魉蛶�向上，因�(yàn)?/span>

所以滑塊將繼續(xù)沿傳送帶向下加速運(yùn)動，加速度為a′，由牛頓第二定律可得

mgsinθ-μmgcosθ=ma′

代入數(shù)據(jù)解得

a′=4m/s2

從滑塊與傳送帶速度相等開始，滑塊達(dá)到底端的時間為t3，達(dá)到底部的速度為v1，達(dá)到底部時的位移為

x2=d+x-x1=9m

根據(jù)速度位移關(guān)系可得

v12-v2=2a′x2

解得

v1=9m/s

則

滑塊在傳送帶上運(yùn)動的時間為

t=t1+t2+t3=3s

（2）滑塊減速上升過程中相對于傳送帶向上滑動的距離為

△x1=x+vt1=6m

滑塊加速下滑到與傳送帶共速過程中相對于傳送帶向上滑動的距離為

△x2=vt2-x1=0.75m

從滑塊與傳送帶速度相等開始到滑塊達(dá)到底端的過程中相對于傳送帶向下滑動的距離為

△x3=x2-vt3=4.5m

由于紅色痕跡有重疊，故滑塊在傳送帶上留下的紅色痕跡長度為

△x=△x1+△x2=6.75m