Question

如圖，水平地面和半圓軌道面均光滑，質(zhì)量為 m 的小車靜止在地面上，小車上表面與半徑為 R 的半圓軌道最低點(diǎn) P 切線相平，質(zhì)量為 mB 的物體 B 靜止在 P 點(diǎn)．現(xiàn)有一質(zhì)量為 mA 的物體 A 以初速度 v0 滑上小車左端，當(dāng) A 與小車共速時(shí)，小車還未與墻 壁碰撞，小車與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ，mA=mB=m，物體 A、B 可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為 g．試求：
（1）物體 A 與小車共速時(shí)的速度大��；
（2）小車的最小長(zhǎng)度 L；
（3）當(dāng)物體 A 與 B 發(fā)生彈性碰撞后，欲使 B 碰后在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道，小車的長(zhǎng)度 L應(yīng)在什么范圍內(nèi)．

Answer 1

分析：物體A在小車上面運(yùn)動(dòng)，把小車與物體A看做一系統(tǒng)，合外力為零，滿足動(dòng)量守恒列出等式求解
若滑塊恰能滑過圓的最高點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出滑塊經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出軌道半徑；若滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)就停止，滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．根據(jù)動(dòng)能定理求解小車的長(zhǎng)度，即能得到小車的長(zhǎng)度的范圍．

解答：解：（1）物體A在小車上面運(yùn)動(dòng)，把小車與物體A看做一系統(tǒng)，合外力為零，滿足動(dòng)量守恒，
有：m_AV₀=（m_A+m_B）V_共且m_A=m_B=m
解得V_共=

1

2

v₀
（2）若問題A與小車達(dá)到共同速度時(shí)，恰好運(yùn)動(dòng)到小車的右端，此情況下小車的長(zhǎng)度是最小長(zhǎng)度，
由系統(tǒng)動(dòng)能定理得
-μm_AgL=

1

2

（m_A+m）

v

2 共

-

1

2

m_A

v

2 0

解得L=

v 2 0

4μg

（3）假設(shè)問題A與小車達(dá)到共同速度時(shí)，距離小車的右端為S，小車粘到墻壁上之后，
物體A開始勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到P點(diǎn)是速度為v_t，
由動(dòng)能定理得：
-μm_AgS=

1

2

m_A

v

2 t

-

1

2

m_A

v

2 共

得出：

1

2

m_A

v

2 t

=

1

8

m_A

v

2 0

-μm_AgS
①欲保證A能滑到P點(diǎn)，v_t≥0

1

8

m_A

v

2 0

-μm_AgS≥0
S≤

v 2 0

8μg

，此情況下小車的長(zhǎng)度L_總=L+S=

3v 2 0

8μg

②A能滑到P點(diǎn)與B發(fā)生彈性碰撞，滿足動(dòng)量和動(dòng)能守恒，
m_Av_t=m_Av_A+m_Bv_B
解得：v_A=0，v_B=v_t
以后B做圓周運(yùn)動(dòng)，恰能運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，
在最高點(diǎn)速度v_B0=

gR

根據(jù)機(jī)械能守恒有
m_Bg?2R+

1

2

m_B

v

2 BO

=

1

2

m_B

v

2 t

解得：S=

v 2 0

8μg

-

5R

2μ

此情況下小車的長(zhǎng)度L_總=L+S=

3v 2 0

8μg

-

5R

2μ

③如果滑塊滑到

1

4

圓滑就停止，滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道根據(jù)機(jī)械能守恒有
m_BgR=

1

2

m_B

v

2 t

S═

v 2 0

8μg

-

R

μ

此情況下小車的長(zhǎng)度L_總=L+S=

3v 2 0

8μg

-

R

μ

綜上所述，滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑必須滿足：

v 2 0

4μg

＜L≤

3v 2 0

8μg

-

5R

2μ

或=

3v 2 0

8μg

-

R

μ

≤L≤

3v 2 0

8μg

答：（1）物體 A 與小車共速時(shí)的速度大小是

1

2

v₀；
（2）小車的最小長(zhǎng)度是

v 2 0

4μg

；
（3）當(dāng)物體 A 與 B 發(fā)生彈性碰撞后，欲使 B 碰后在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道，
小車的長(zhǎng)度 L范圍是

v 2 0

4μg

＜L≤

3v 2 0

8μg

-

5R

2μ

或

3v 2 0

8μg

-

R

μ

≤L≤

3v 2 0

8μg

．

點(diǎn)評(píng)：本題通過計(jì)算分析小車與墻壁碰撞前滑塊與小車的速度是否相同是難點(diǎn)．第3題容易只考慮滑塊通過最高點(diǎn)的情況，而遺漏滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)停止的情況，要培養(yǎng)自己分析隱含的臨界狀態(tài)的能力．