Question

【題目】如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，被稱(chēng)為“魔力陀螺”．它可等效為如圖乙所示的模型：豎直固定的磁性圓軌道半徑為R，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在軌道外側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)分別為軌道上的最高與最低點(diǎn)．質(zhì)點(diǎn)受軌道的磁性引力始終指向圓心O且大小恒定，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．

(1)判斷質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能是否守恒，并說(shuō)明理由；

(2)若磁性引力的大小為10mg，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為，求質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)對(duì)軌道的彈力；

(3)求滿(mǎn)足質(zhì)點(diǎn)做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)磁性引力的最小值．

Answer 1

【答案】（1）機(jī)械能守恒 （2）10mg，方向豎直向下 （3）5mg

【解析】試題分析：因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，所以質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒；在A點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)的彈力，再由牛頓第三定律得到質(zhì)點(diǎn)對(duì)軌道的彈力．若磁性引力大小F可變，質(zhì)點(diǎn)仍做完整圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)不脫離軌道即可，到達(dá)B點(diǎn)的速度最小，機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律求解。

（1）為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，所以質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒

（2）在A點(diǎn)時(shí)，設(shè)軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)有向上的大小為FN的彈力．

根據(jù)牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得出：FN=10mg

由牛頓第三定律得，質(zhì)點(diǎn)對(duì)軌道的彈力大小為10mg，方向豎直向下．

（3）質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)不脫離軌道即可，當(dāng)vA=0，到達(dá)B點(diǎn)的速度最小，

根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

設(shè)磁性引力為F，在B點(diǎn)有：

所以有：F=5mg+ FN

當(dāng)FN=0時(shí)，磁性引力最小，故得：Fmin=5mg