Question

如圖所示，在xOy平面的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P、Q 兩點(diǎn)，圓內(nèi)存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在第I象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，一帶正電的粒子（重力不計(jì)）以速率v0從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)后恰好垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，最后從M（

8R

3

，0）點(diǎn)射出電場(chǎng)，出射方向與x軸正向夾角為α，且滿(mǎn)足tanα=

5

4

，求：
（1）帶電粒子的比荷；
（2）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（3）若粒子從P點(diǎn)入射方向與x軸負(fù)方向的夾角為θ，則cosθ之值為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點(diǎn)y方向的速度．結(jié)合牛頓第二定律求得粒子的比荷；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，求出粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的位置，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)半徑公式r=

mv

qB

求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用洛倫茲力提供向心力的公式，求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，利用幾何關(guān)系求出cosθ之值．

解答：解：（1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
在x軸方向上，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：

8

3

R=v₀t ①
在M處，粒子沿y軸方向的分速度為：v_y=v₀tanα ②
設(shè)粒子在電場(chǎng)中沿y軸負(fù)方向做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則有：qE=ma ③
又 v_y=at ④
據(jù)題意 tanα=

5

4

 ⑤
聯(lián)立①②③④⑤解得：

q

m

=

15 v 2 0

32RE

．⑥
（2）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O₁是磁場(chǎng)圓的圓心，O₂是粒子軌跡圓的圓心．
P′是粒子射出磁場(chǎng)的位置，依題意，粒子垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，則P′O₁=PO₁=R
所以粒子的軌道半徑 r=R ⑦
由 qv₀B=m

v 2 0

r

 ⑧
由⑥⑦⑧得，B=

32E

15v0

．
（3）粒子人N點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，ON的長(zhǎng)度y應(yīng)滿(mǎn)足：

v

2 y

=2ay ⑨
由幾何知識(shí)得：y=R+Rcosθ  ⑩
由①③④⑨⑩解得，cosθ=

2

3

答：
（1）帶電粒子的比荷是

15 v 2 0

32RE

；
（2）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B是

32E

15v0

．
（3）若粒子從P點(diǎn)入射方向與x軸負(fù)方向的夾角為θ，則cosθ之值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．