Question

如圖甲所示，一豎內(nèi)的軌道由粗糙斜面AD和光滑圓軌道DCE組成，AD與DCE 相切于D點(diǎn)，C為圓軌道的最低點(diǎn)．將物塊置于軌道ADC上離地面高為 H處由靜止下滑，用力傳感器測(cè)出其經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力N，改變H的大小，可測(cè)出相應(yīng)的N大小，N隨H的變化關(guān)系如圖乙折線PQI所示（PQ與QI兩直線相連接于Q點(diǎn)），QI反向延長(zhǎng)交縱軸于F點(diǎn)（0，5.8N），重力加速度g取10m/s²，求：
（1）小物塊的質(zhì)量m．
（2）圓軌道的半徑及軌道DC所對(duì)圓心角?（可用角度的三角函數(shù)值表示）．
（3）小物塊與斜面AD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．

Answer 1

分析：（1）從圖象得到H=0時(shí)的彈力，即為物體的重力，從而得到物體的質(zhì)量m；
（2）結(jié)合圖象可以得到當(dāng)H=0.2m時(shí)，物體恰好在斜面最低點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和向心力公式聯(lián)立列式求解出圓軌道的半徑R，然后可根據(jù)幾何關(guān)系得到軌道DC所對(duì)圓心角；
（3）對(duì)滑塊從最高點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，再對(duì)最低點(diǎn)運(yùn)用向心力公式和牛頓第二定律列式，聯(lián)立后求解出彈力的一般表達(dá)式，再根據(jù)圖象求解出動(dòng)摩擦因素．

解答：解：（1）由圖線PQ知：當(dāng)H₁=0時(shí)，N₁=5N，此時(shí)N₁=mg 故m=0.5kg
即小物塊的質(zhì)量m為0.5kg．
（2）由圖線知：當(dāng)H₂=0.2m時(shí)，N₂=7N，此時(shí)小物塊恰好由D點(diǎn)下滑
由mgH₂=

1

2

m

v

2 2

和N₂-mg=m

v 2 2

R

得R=1m
cosθ=

R-H

R

=0.8
即θ=arccos0.8=37°
即圓軌道的半徑為1m，軌道DC所對(duì)圓心角為37°．
（3）小球從高為H處的斜面上滑到最低點(diǎn)過(guò)程．根據(jù)動(dòng)能定理，有
  mgH-μmgcosθ

H-0.2

sinθ

=

1

2

mv²
得：mv²=2mgH-

4

3

μmg（H-0.2）
在最低點(diǎn)，支持力和重力的合力提供向心力，有
  N-mg=m

v2

R

解得 N=mg+m

v2

R

=

2mg- 4 3 μmg

R

H+

0.8

3

μmg+mg
結(jié)合QI曲線，

2mg- 4 3 μmg

R

=6
解得μ=0.6
答：
（1）小物塊的質(zhì)量m為0.5kg．
（2）圓軌道的半徑及軌道DC所對(duì)圓心角37°．
（3）小物塊與斜面AD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.6．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是對(duì)分析清楚滑塊的各個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后運(yùn)用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律和向心力公式，結(jié)合圖象聯(lián)立方程組求解．