Question

【題目】做功與路徑無(wú)關(guān)的力場(chǎng)叫做勢(shì)場(chǎng)，在這類場(chǎng)中可以引入“勢(shì)”和“勢(shì)能”的概念，場(chǎng)力做功可以量度勢(shì)能的變化。例如靜電場(chǎng)和引力場(chǎng)。

(1)如圖所示，真空中靜止點(diǎn)電荷+Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中，A、B為同一條電場(chǎng)線上的兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)與點(diǎn)電荷+Q間的距離分別為r1和r2。取無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，則在距離點(diǎn)電荷+Q為r的某點(diǎn)電勢(shì)（式中k為靜電力常量）。

a．現(xiàn)將電荷量為+q的檢驗(yàn)電荷放置在A點(diǎn)，求該檢驗(yàn)電荷在A點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能EpA；

b．現(xiàn)將電荷量為+q的檢驗(yàn)電荷，由A點(diǎn)移至B點(diǎn)，求在此過(guò)程中，電場(chǎng)力所做的功W。

(2)質(zhì)量為M的天體周圍存在引力場(chǎng)。已知該天體的半徑為R，引力常量為G。

a．請(qǐng)類比點(diǎn)電荷，取無(wú)窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)為零，寫出在距離該天體中心為r（）處的引力勢(shì)的表達(dá)式；

b．天體表面上的物體擺脫該天體萬(wàn)有引力的束縛，飛向宇宙空間所需的最小速度，稱為第二宇宙速度，又叫逃逸速度。求該天體的第二宇宙速度v。

(3)2019年4月10日，人類首張黑洞照片面世。黑洞的質(zhì)量非常大，半徑又非常小，以致于任何物質(zhì)和輻射進(jìn)入其中都不能逃逸，甚至光也不能逃逸。已知黑洞的質(zhì)量為M0，引力常量為G，真空中的光速為c，求黑洞可能的最大半徑rm。

Answer 1

【答案】（1）a． b．（2）a． b．（3）

【解析】

(1)a．由題意可知，A點(diǎn)的電勢(shì)

所以檢驗(yàn)電荷+q放置在A點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能

b．在檢驗(yàn)電荷由A點(diǎn)移至B點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)功能關(guān)系有

(2)a．將一物體從距離該天體中心為r的點(diǎn)移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，萬(wàn)有引力做負(fù)功，引力勢(shì)能增加，所以該點(diǎn)的引力勢(shì)，則類比點(diǎn)電荷可得

b．天體表面處的引力勢(shì)

則質(zhì)量為m的物體放在天體表面處的引力勢(shì)能

若將質(zhì)量為m的物體從天體表面處以初速度v向外“拋出”，該物體恰能到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)處。根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

所以

(3)因?yàn)楣庖膊荒軓暮诙刺右�，設(shè)黑洞的半徑為r，則有

則

所以黑洞可能的最大半徑