Question

（2009?江蘇模擬）如圖（A）所示，固定于水平桌面上的金屬架cdef，處在一豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感強(qiáng)度的大小為B₀，金屬棒ab擱在框架上，可無摩擦地滑動(dòng)，此時(shí)adeb構(gòu)成一個(gè)邊長為l的正方形，金屬棒的電阻為r，其余部分的電阻不計(jì)．從t=0的時(shí)刻起，磁場開始均勻增加，磁感強(qiáng)度變化率的大小為k（k=

△B

△t

）．求：

（1）用垂直于金屬棒的水平拉力F使金屬棒保持靜止，寫出F的大小隨時(shí)間 t變化的關(guān)系式．
（2）如果豎直向下的磁場是非均勻增大的（即k不是常數(shù)），金屬棒以速度v₀向什么方向勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可使金屬棒中始終不產(chǎn)生感應(yīng)電流，寫出該磁感強(qiáng)度B_t隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．
（3）如果非均勻變化磁場在0-t₁時(shí)間內(nèi)的方向豎直向下，在t₁-t₂時(shí)間內(nèi)的方向豎直向上，若t=0時(shí)刻和t₁時(shí)刻磁感強(qiáng)度的大小均為B₀，且adeb的面積均為l²．當(dāng)金屬棒按圖（B）中的規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，為使金屬棒中始終不產(chǎn)生感應(yīng)電流，請?jiān)趫D（C）中示意地畫出變化的磁場的磁感強(qiáng)度B_t隨時(shí)間變化的圖象（t₁-t₀=t₂-t₁＜

l

v

）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢的大小，結(jié)合閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流的大小，抓住外力F與安培力相等求出外力F與時(shí)間的關(guān)系式．
（2）要使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，抓住回路中的磁通量變化量為零，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化的關(guān)系式．
（3）抓住磁通量變化量為零，得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度隨t的變化圖象．

解答：解：（1）ε=

△φ

△t

=

△B

△t

S=kl²          I=

ε

r

=

kl2

r

       
因?yàn)榻饘侔羰冀K靜止，在t時(shí)刻磁場的磁感強(qiáng)度為B_t=B₀+kt，所以
F_外=F_A=BIl=（ B₀+kt ）

kl2

r

l=B₀ 

kl3

r

+

k2l3

r

t        方向向右     
（2）根據(jù)感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件，為使回路中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，回路中磁通量的變化應(yīng)為零，
因?yàn)榇鸥袕?qiáng)度是逐漸增大的，所以金屬棒應(yīng)向左運(yùn)動(dòng)（使磁通量減小）  
即：△φ=0，即△φ=B_tS_t-B₀S₀，
也就是  B_t l（l-vt ）=B₀l²    
得     B_t=

B0l

l-vt

                 
（3）如果金屬棒的右勻速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檫@時(shí)磁感強(qiáng)度
是逐漸減小的，同理可推得，
B_t=

B0l

l+vt

．                   
所以磁感強(qiáng)度隨時(shí)間變化的圖象如右圖（t₂時(shí)刻B_t不為零）
答：（1）F的大小隨時(shí)間 t變化的關(guān)系式為B₀

kl3

r

+

k2l3

r

t．
（2）磁感強(qiáng)度B_t隨時(shí)間t變化的關(guān)系式 B_t=

B0l

l-vt

．
（3）如圖所示．

點(diǎn)評：本題根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢，由歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，是常用的方法和思路．當(dāng)回路中沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生時(shí)，回路總的磁通量應(yīng)保持不變．