Question

（20分）

       如圖12所示，A、B是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為，分別帶有等量的負(fù)、正電荷，在兩板間形成電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。A板上有一小孔（它的存在對(duì)兩板間勻強(qiáng)電場(chǎng)分布的影響可忽略不計(jì)），孔的下沿右側(cè)有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個(gè)質(zhì)量為，電荷量為的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）， 在外力作用下靜止在軌道的中點(diǎn)P處。孔的下沿左側(cè)也有一與板垂直的水平光滑絕緣軌道，軌道上距A板處有一固定檔板，長(zhǎng)為的輕彈簧左端固定在擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q。撤去外力釋放帶電小粒，它將在電場(chǎng)力作用下由靜止開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)小孔后（不與金屬板A接觸）與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，可認(rèn)為小球與Q接觸過(guò)程中不損失機(jī)械能。小球從接觸 Q開(kāi)始，經(jīng)歷時(shí)間T₀第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回。由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開(kāi)Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時(shí)小球電荷量的。求：

（1）小球第一次接觸Q時(shí)的速度大小；

（2）假設(shè)小球第次彈回兩板間后向右運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)處沒(méi)有到達(dá)B板，試導(dǎo)出小球從第次接觸 Q，到本次向右運(yùn)動(dòng)至最遠(yuǎn)處的時(shí)間T₀的表達(dá)式；

（3）假設(shè)小球被第N次彈回兩板間后向右運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)處恰好到達(dá)B板，求N為多少。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）N=log _k 2

【解析】

（1）設(shè)小球第一次接觸Q的速度為v，接觸Q前的加速度為a。

根據(jù)牛頓第二定律有E=ma …………………………………………………2分

對(duì)于小球從靜止到與Q接觸前的過(guò)程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有v²=2al…………2分

聯(lián)立解得v=………………………………………2分

（2）小球每次離開(kāi)Q的瞬時(shí)速度大小相同，且等于小球第一次與Q接觸時(shí)速度大小�！�…………………………………………………………………1分

       設(shè)小球第1次離開(kāi)Q向右做減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a₁，速度由v減為零所需時(shí)間為t₁，小球離開(kāi)Q所帶電荷量為q₁。

       根據(jù)牛頓第二定律有q₁E=ma₁……………………………………………1分

       根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有 ………………………………………………………………1分

       根據(jù)題意可知小球第1次離開(kāi)Q所帶電荷量 …………………………………1分

       聯(lián)立解得 ……………………………………………………………………1分

       設(shè)小球第2次離開(kāi)Q向右做減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a₂，速度由v減為零所需時(shí)間為t₂，小球離開(kāi)Q所帶電荷量為q₂。

       同理q₂E=ma₂，，

       聯(lián)立解得……………………………………………………………………1分

       設(shè)小球第n次離開(kāi)Q向右做減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a_n，速度由v減為零所需時(shí)間為t_n，小球離開(kāi)Q所帶電荷量為q_n。

       同理  q_nE=ma_n，，…………………………………………………1分

       聯(lián)立解得……………………………………………………………………1分

       小球從第n次接觸Q，到本次向右運(yùn)動(dòng)至最遠(yuǎn)處的時(shí)間……2分

（3）設(shè)小球第N次離開(kāi)Q，向右運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)處恰好在B板處，這個(gè)過(guò)程中小球的加速度為a_N，小球第N次離開(kāi)Q所帶電荷量為q_N。

       對(duì)于小球第N次接觸Q前，小球從P位置到與Q接觸的過(guò)程中，

       根據(jù)動(dòng)能定理有qEl=，…………………………………………………………1分

       對(duì)于小球第N次離開(kāi)Q，向右運(yùn)動(dòng)至B板處的過(guò)程中，

       根據(jù)動(dòng)能定理有q_NE2l= …………………………………………………………1分

       根據(jù)上式有，又，所以k^N = 2 ………………………………………1分

       N=log _k 2……………………………………………………………………………………1分