Question

（2012?淮南二模）在某次興趣活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了如圖所示的軌道，AB是光滑的傾斜軌道，底端有一小段將其轉(zhuǎn)接為水平的弧形軌道，BC是一個(gè)光滑的水平凹槽，凹槽內(nèi)放置一個(gè)質(zhì)量為m₂=0.5kg的小車(chē)，小車(chē)上表面與凹槽的兩端點(diǎn)BC等高，CDE是光滑的半徑為R=6.4cm的豎直半圓形軌道，R是圓軌道的最高點(diǎn)．將一個(gè)質(zhì)量為m₁=0.5kg的小滑塊，從AB軌道上離B點(diǎn)高h(yuǎn)=0.8m處由靜止開(kāi)始釋放，滑塊下滑后從B點(diǎn)滑上小車(chē)，在到達(dá)C點(diǎn)之前，滑塊與小車(chē)達(dá)到共同速度，小車(chē)與凹槽碰撞后立即停止，此后滑塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，且恰好能經(jīng)過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)E，滑塊與小車(chē)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，g=10m/s²．試求：
（1）小滑塊m₁經(jīng)過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)E時(shí)的速度；
（2）小車(chē)的長(zhǎng)度L和小車(chē)獲得的最大動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）滑塊做圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)處重力充當(dāng)向心力，則可求得E點(diǎn)的速度；
（2）由A到B的過(guò)程中由機(jī)械能守恒可求得B滑塊滑上小車(chē)的速度，再對(duì)滑塊與小車(chē)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒及能量守恒可列式得出達(dá)到相同速度時(shí)的滑塊滑過(guò)的長(zhǎng)度；碰后小車(chē)靜止，滑塊繼續(xù)前進(jìn)，由動(dòng)能定理可求得滑塊在小車(chē)上又滑過(guò)的距離，則可求得小車(chē)的長(zhǎng)度；當(dāng)達(dá)相同速度時(shí)，小車(chē)的動(dòng)能最大．

解答：解：（1）設(shè)m₁經(jīng)過(guò)內(nèi)軌道的最高點(diǎn)E時(shí)的速度為v_E，
由m₁g=m₁

v 2 E

R

解得：v_E=

gR

=0.8m/s；
（2）滑塊滑到B點(diǎn)時(shí)的速度設(shè)為v₁，滑到小車(chē)上后與小車(chē)達(dá)到相同速度速度為v₂，小車(chē)停止后，滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度為v₃；
滑塊從A到B的過(guò)程中：m₁gh=

1

2

m₁v₁²
滑塊在小車(chē)上發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：
m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
μm₁gL₁=

1

2

m₁v₁²-

1

2

（m₁+m₂）v₂²
小車(chē)停住后，滑塊繼續(xù)滑動(dòng)到E點(diǎn)的過(guò)程中
-μm₁gL₂=

1

2

m₁v₃²-

1

2

m₁v₂²
-m₁g?2R=

1

2

m₁v_E²-

1

2

m₁v₃²
解得：v₂=2m/s；L₁=1.0m；L₂=0.1m
小車(chē)長(zhǎng)度L=L₁+L₂=1.1m
小車(chē)獲得的最大動(dòng)能為E_kmax=

1

2

m₂v₂²=1.0J．
答：（1）小滑塊m₂經(jīng)過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)E時(shí)的速度為0.8m/s；（2）小車(chē)長(zhǎng)度為1.1m；小車(chē)獲得的最大動(dòng)能為1.0J．

點(diǎn)評(píng)：本題過(guò)程較為復(fù)雜，在解題之前應(yīng)認(rèn)真審題，找出對(duì)應(yīng)的過(guò)程，再分別根據(jù)機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒及動(dòng)能定理列式計(jì)算．