Question

【題目】人民網(wǎng)北京7月6日電 據(jù)中國(guó)航天科技集團(tuán)公司官網(wǎng)消息，6月19日，長(zhǎng)征三號(hào)乙遙二十八火箭發(fā)射中星9A衛(wèi)星過(guò)程中運(yùn)載火箭出現(xiàn)異常，未能將衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。中航科技集團(tuán)公司在西安衛(wèi)星測(cè)控中心的密切配合下，通過(guò)準(zhǔn)確實(shí)施10次軌道調(diào)整，衛(wèi)星于7月5日成功定點(diǎn)于東經(jīng)101.4°赤道上空的預(yù)定軌道。目前，衛(wèi)星各系統(tǒng)工作正常，轉(zhuǎn)發(fā)器已開(kāi)通，后續(xù)將按計(jì)劃開(kāi)展在軌測(cè)試工作。

如圖所示，衛(wèi)星圓軌道Ⅰ通過(guò)橢圓軌道Ⅱ調(diào)整至圓軌道Ⅲ，P點(diǎn)是圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ的切點(diǎn)，Q點(diǎn)橢圓軌道Ⅱ調(diào)和圓軌道Ⅲ的切點(diǎn)。已知中星9A衛(wèi)星的質(zhì)量為m=700kg，地球質(zhì)量為M=5.98×1024kg，地球表面重力加速度g=9.80m/s2，地球半徑為R0=6400km，圓軌道Ⅰ的軌道半徑為1.5R0，圓軌道Ⅰ的軌道半徑為2.5R0，地面附近物體所受重力等于萬(wàn)有引力，=1.41，=1.73，=2.34，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為6.6R0、環(huán)繞周期為T0=8.64×104s。

求：

(1)衛(wèi)星在圓軌道I、Ⅲ上運(yùn)行的速度v1、v4各是多大？

(2)將衛(wèi)星從圓軌道I送到圓軌道Ⅲ，至少要對(duì)衛(wèi)星做多少功？

(3)以距離地球無(wú)限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，質(zhì)量為m衛(wèi)星距離地心為R時(shí)，其引力勢(shì)能為，且衛(wèi)星在P點(diǎn)和Q點(diǎn)時(shí)，，則衛(wèi)星在橢圓軌道P點(diǎn)、Q點(diǎn)的速度各是多大？

Answer 1

【答案】(1) (2)E=5.85×109 J (3)

【解析】

(1)衛(wèi)星在圓軌道上最勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，萬(wàn)有引力提供向心力，所以在圓軌道I上：

r1=1.5R0

又

所以：

代入數(shù)據(jù)得：

v1＝6.45km/s

同理在圓軌道Ⅲ上：

r0=2.5R0

所以：

代入數(shù)據(jù)得：

v4=5.00km/s

(2) 要把衛(wèi)星從圓軌道I送到圓軌道Ⅲ，外力做的功等于衛(wèi)星增加的機(jī)械能，由功能關(guān)系得：

代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立得：

W=5.85×109J

(3) 衛(wèi)星在橢圓軌道從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，得：

又知道衛(wèi)星在P點(diǎn)和Q點(diǎn)時(shí)，v2×1.5R0=v3×2.5R0，所以：

v2=7.21km/s；v3=4.33km/s