Question

如圖所示，一個(gè)

3

4

圓弧形光滑細(xì)圓管軌道ABC，放置在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，在A 點(diǎn)與水平地面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長(zhǎng)為3R、厚度不計(jì)的墊子，左端M正好位于A點(diǎn)．將一個(gè)質(zhì)量為m、直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力．
（1）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)管的作用力大小和方向如何？
（2）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，小球從釋放到進(jìn)入光滑細(xì)圓管的時(shí)間和從C點(diǎn)射出打到墊子的M端所經(jīng)歷的時(shí)間之比是多少？
（3）欲使小球能通過(guò)C點(diǎn)落到墊子上，小球離A點(diǎn)的最大高度是多少？

Answer 1

分析：（1）離開(kāi)C點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得C點(diǎn)速度的大�。�根據(jù)牛頓第二定律求得彈力；
（2）小球從最高點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能使守恒定律求解高度H，再根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求解時(shí)間，從而求出時(shí)間比；
（3）小球下降的高度最高時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的水平位移為4R，打到N點(diǎn)根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求得速度．根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解．

解答：解：（1）小球離開(kāi)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，落到M點(diǎn)時(shí)水平位移為R，豎直下落高度為R，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：
R=

1

2

gt2
運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

2R g

從C點(diǎn)射出的速度為
v₁=

R

t

=

gR 2

設(shè)小球以v₁經(jīng)過(guò)C點(diǎn)受到管子對(duì)它的作用力為N，由向心力公式可得
mg-N=m

v12

R

N=mg-m

v12

R

=

mg

2

由牛頓第三定律知，小球?qū)�管子作用力大小�?span id="6kkiaae" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

mg

2

，方向豎直向下． 
（2）小球從最高點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，則
mg（H-R）=

1

2

mv12
解得：H=

5

4

R
小球從H高處自由下落，則H=

1

2

gt′2
解得：t′=

5R 2g

則

t′

t

=

5R 2g

2R g

=

5

2

（3）小球下降的高度最高時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的水平位移為4R，打到N點(diǎn)．
設(shè)能夠落到N點(diǎn)的水平速度為v₂，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求得：
v2=

4R

t

=

8gR

設(shè)小球下降的最大高度為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，
mg（H-R）=

1

2

mv22
解得：H=

v22

2g

+R=5R
答：（1）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)管的作用力大小為

mg

2

，方向豎直向下；
（2）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，小球從釋放到進(jìn)入光滑細(xì)圓管的時(shí)間和從C點(diǎn)射出打到墊子的M端所經(jīng)歷的時(shí)間之比是

5

2

；
（3）欲使小球能通過(guò)C點(diǎn)落到墊子上，小球離A點(diǎn)的最大高度是5R

點(diǎn)評(píng)：知道物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)物體的不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，采用相應(yīng)的物理規(guī)律求解即可．